آلة حاسبة المعادلات
باستخدام هذه الآلة الحاسبة ، يمكنك حل المعادلة الخطية أو التربيعية أو الثالثية عبر الإنترنت. يمكن العثور على أمثلة للحسابات في القسم المناسب.
حل المعادلات
المعادلة هي تساوي مع متغير (أو مجهول). يتم كتابة المعادلة بمتغير واحد $x$ بشكل عام على النحو التالي: $f(x) = g(x)$.
يُسمى الحل (أو الجذر) للمعادلة القيمة للمتغير التي تحول المعادلة إلى تساوي عددي صحيح. حل المعادلة يعني إيجاد جميع حلولها أو إثبات عدم وجودها.
لحل المعادلة على الآلة الحاسبة: أولاً ، أدخل جزء المعادلة حتى علامة = ، ثم اضغط على زر x=y ، ثم أدخل الجزء المتبقي من المعادلة ، ثم اضغط على زر = لإجراء الحسابات. على سبيل المثال ، للمعادلة $2x - 4 = 0$ ، الجذر هو $x = 2$. وهذا كيف تم الحصول على هذه النتيجة باستخدام آلة حاسبة المعادلات:
$$2x - 4 = 0 \\ \Downarrow \\ x = 2$$
2 x - 4 x=y 0 =
المعادلات الخطية
المعادلة الخطية بمجهول واحد هي معادلة على الشكل التالي:
$$ax + b = 0,$$
حيث
- $x$ - المجهول،
- $a$ - معامل المجهول،
- $b$ - الحد الثابت للمعادلة.
المعادلات الخطية هي أبسط أنواع المعادلات الجبرية ، ويُختزل حلها إلى تنفيذ العمليات الحسابية البسيطة.
أمثلة على الحلول:
$$4x - 16 = 0 \\ \Downarrow \\ x = 4$$
4 x - 1 6 x=y 0 =
$$3x + 2 = 6 - x \\ \Downarrow \\ x = 1$$
3 x + 2 x=y 6 - x =
المعادلات التربيعية
المعادلة التربيعية هي معادلة على الشكل التالي:
$$ax^2 + bx + c = 0 \ \ \ (a \ne 0)$$
حل المعادلات التربيعية على الآلة الحاسبة:
$$4x^2 - 6x + 2 = 0 \\ \Downarrow \\ x_1 = 1, \ x_2 = 0.5$$
4 x x2 - 6 x
+ 2 x=y 0 =
$$x^2 - 3x - 4 = 0 \\ \Downarrow \\ x_1 = 4, \ x_2 = -1$$
x x2 - 3 x - 4 x=y 0 =
$$x^2 - 4x + 4 = 0 \\ \Downarrow \\ x_1 = x_2 = x = 2$$
x x2 - 4 x + 4 x=y 0 =
نسب المعاملات
هناك معادلات تربيعية تكون معاملاتها في نسب تسمح بحلها بطريقة أبسط بكثير.
$$a + b + c = 0 \\ \Downarrow \\ x_1 = 1, \ x_2 = \frac {c} {a}$$
$$a + c = b \\ \Downarrow \\ x_1 = -1, \ x_2 = - \frac {c} {a}$$
يمكن إيجاد جذور هذه المعادلات أيضًا باستخدام الآلة الحاسبة العادية.
المُميِّز
يُستخدم المُميِّز لإيجاد جذور المعادلة التربيعية. صيغة حساب المُميِّز:
$$D = b^2 - 4ac$$
صيغة حساب الجذور باستخدام المُميِّز:
$$x_{1,2} = \frac {-b \pm \sqrt D} {2a}$$
إذا $D > 0$، فإن المعادلة لديها جذران مختلفان. على سبيل المثال:
$$4x^2 - 6x + 2 = 0 \\ \Downarrow \\ a = 4, \ b = -6, \ c = 2 \\ \Downarrow \\ D = (-6)^2 - 4 × 4 × 2 = 4 \\ \Downarrow \\ x_{1,2} = \frac {-(-6) \pm \sqrt 4} {2 × 4} \\ \Downarrow \\ x_1 = \frac {6 + 2} {8} = 1, \ x_2 = \frac {6 - 2} {8} = 0.5$$
إذا $D = 0$، فإن المعادلة لديها جذر واحد (أو جذران متطابقان). على سبيل المثال:
$$x^2 - 4x + 4 = 0 \\ \Downarrow \\ a = 1, \ b = -4, \ c = 4 \\ \Downarrow \\ D = (-4)^2 - 4 × 1 × 4 = 0 \\ \Downarrow \\ x_{1,2} = \frac {-(-4) \pm \sqrt 0} {2 × 1} \\ \Downarrow \\ x_1 = x_2 = x = \frac {4 \pm 0} {2} = 2$$
إذا $D < 0$، فلا يوجد حل للمعادلة على مجموعة الأعداد الحقيقية:
$$x^2 + 4x + 5 = 0 \\ \Downarrow \\ a = 1, \ b = 4, \ c = 5 \\ \Downarrow \\ D = 6^2 - 4 × 1 × 5 = -4 \\ \Downarrow \\ x_{1,2} = \frac {-4 \pm \sqrt {-4}} {2 × 1} \\ \Downarrow \\ x_1 = \frac {-4 + 2i} {2} = -2 + i, \\ x_2 = \frac {-4 - 2i} {2} = -2 - i$$
نظرية فييتا
تؤسس نظرية فييتا علاقات جبرية بسيطة (صيغ فييتا) بين جذور المعادلة التربيعية $x_1, x_2$ ومعاملاتها $a, b, c$. باستخدام هذه الصيغ ، يمكن إيجاد الجذور إذا كانت المعاملات معروفة ، أو حساب المعاملات إذا كانت الجذور معروفة.
صيغ فييتا:
$$\begin {cases} x_1 + x_2 = - \dfrac {b} {a} \\ x_1 x_2 = \dfrac {c} {a} \end {cases}$$
المعادلات الثنائية التربيعية
المعادلة الثنائية التربيعية هي معادلة على الشكل التالي:
$$ax^4 + bx^2 + c = 0 \ \ \ (a \ne 0)$$
إذا تم استبدال $x^2$ بـ $y \ (y \ge 0)$، فسيتم الحصول على معادلة تربيعية يمكن إيجاد جذورها $y_1, y_2$. يتم إيجاد جذور المعادلة الثنائية التربيعية على النحو التالي:
$$x_{1,2} = \pm \sqrt {y_1}, \ \ \ x_{3,4} = \pm \sqrt {y_2}$$
المعادلات الثالثية
المعادلة الثالثية هي معادلة على الشكل التالي:
$$ax^3 + bx^2 + cx + d = 0 \ \ \ (a \ne 0)$$
مثال على الحل:
$$x^3 - 6x^2 - 31x + 120 = 0 \\ \Downarrow \\ x_1 = -5, x_2 = 3, x_3 = 8$$
x x3 - 6 x x2 - 3 1 x
+ 1 2 0 x=y 0 =
إذا تم قسمة المعادلة الثالثية على $a$ واستبدال $x$ بـ $y - \frac {b} {3a}$، فستأخذ الشكل الأبسط التالي:
$$y^3 + py + q = 0,$$
حيث
$y = x + \frac {b} {3a}$,
$p = \frac {c} {a} - \frac {b^2} {3a^2} = \frac {3ac - b^2} {3a^2}$,
$q = \frac {2b^3} {27a^3} - \frac {bc} {3a^2} + \frac {d} {a} = \frac {2b^3 - 9abc + 27a^2d} {27a^3}$.
صيغة كاردانو
إذا كانت المعادلة الثالثية على الشكل التالي:
$$y^3 + py + q = 0,$$
فيمكن تطبيق صيغة كاردانو لإيجاد جذور هذه المعادلة:
$$x = \sqrt[3] {- \frac {q} {2} + \sqrt {\frac {q^2} {4} + \frac {p^3} {27}}} + \\ + \ \sqrt[3] {- \frac {q} {2} - \sqrt {\frac {q^2} {4} + \frac {p^3} {27}}}$$