آلة حاسبة المصفوفات
باستخدام هذه الآلة الحاسبة، يمكنك إجراء عمليات جمع أو طرح أو ضرب المصفوفات، وكذلك حساب محدد المصفوفة. لإجراء العمليات الحسابية المطلوبة، يجب النقر على الأزرار المشار إليها تحت المثال في القسم المناسب بالتسلسل.
يمكن إجراء عملية ترانسبوز المصفوفة بسهولة حتى دون استخدام آلة حاسبة، ما عليك سوى اتباع التعليمات المفصلة.
ما هي المصفوفة في الرياضيات
المصفوفة هي جدول مستطيل يحتوي على عناصر (أرقام أو رموز أو تعابير)، ويتكون من $m$ صفوف و $n$ أعمدة. يقع كل عنصر من عناصر المصفوفة عند تقاطع صف وعمود معينين.
عادةً ما تُرمز المصفوفة بحرف كبير، مثل $A$. وتُرمز العناصر الفردية للمصفوفة باستخدام الفهارس، مثل $a_{12}$ - العنصر الموجود في الصف الأول والعمود الثاني.
$$ A = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \dots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \dots & a_{mn} \end{bmatrix} $$
يُعرَّف حجم المصفوفة بـ $m \times n$. على سبيل المثال، ستكون المصفوفة بحجم $3 \times 4$ لها 3 صفوف و4 أعمدة. يمكن معرفة عدد العناصر في المصفوفة بضرب $m$ في $n$ على آلة حاسبة عادية ($3 \cdot 4 = 12$).
جمع وطرح المصفوفات
جمع وطرح المصفوفات هما عمليتان يتم فيهما جمع أو طرح العناصر المقابلة للمصفوفات. ومع ذلك، يجب أن تكون المصفوفات متساوية الحجم، أي لديها نفس عدد الصفوف والأعمدة.
مثال على جمع المصفوفات:
$$ \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \end{bmatrix} \ + \ \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 3 & 2 & 1 \end{bmatrix} \ = \ $$
$$ \ = \ \begin{bmatrix} 1+1 & 2+2 & 3+3 \\ 4+3 & 5+2 & 6+1 \end{bmatrix} \ = \ $$
$$ \ = \ \begin{bmatrix} 2 & 4 & 6 \\ 7 & 7 & 7 \end{bmatrix} $$
2nd [ [ 1 , 2 , 3 ]
[ 4 , 5 , 6 ] ]
+ [ [ 1 , 2 , 3 ]
[ 3 , 2 , 1 ] ] =
مثال على طرح المصفوفات:
$$ \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \end{bmatrix} \ - \ \begin{bmatrix} 3 & 2 & 1 \\ 1 & 2 & 3 \end{bmatrix} \ = \ $$
$$\ = \ \begin{bmatrix} 1-3 & 2-2 & 3-1 \\ 4-1 & 5-2 & 6-3 \end{bmatrix} \ = \ $$
$$\ = \ \begin{bmatrix} -2 & 0 & 2 \\ 3 & 3 & 3 \end{bmatrix} $$
2nd [ [ 1 , 2 , 3 ]
[ 4 , 5 , 6 ] ]
- [ [ 3 , 2 , 1 ]
[ 1 , 2 , 3 ] ] =
ضرب المصفوفات
ضرب مصفوفتين هي عملية حساب مصفوفة جديدة تسمى حاصل ضرب المصفوفات. يساوي كل عنصر من هذه المصفوفة مجموع حواصل ضرب العناصر في الصف المقابل للمصفوفة الأولى والعمود المقابل للمصفوفة الثانية. لضرب المصفوفات، يجب أن يساوي عدد الأعمدة في المصفوفة الأولى عدد الصفوف في المصفوفة الثانية.
مثال على ضرب المصفوفات:
$$ \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \end{bmatrix} \ \cdot \ \begin{bmatrix} 7 & 8 \\ 9 & 10 \\ 11 & 12 \end{bmatrix} \ = \ $$
$$ \ = \ \begin{bmatrix} 1 \cdot 7 + 2 \cdot 9 + 3 \cdot 11 & 1 \cdot 8 + 2 \cdot 10 + 3 \cdot 12 \\ 4 \cdot 7 + 5 \cdot 9 + 6 \cdot 11 & 4 \cdot 8 + 5 \cdot 10 + 6 \cdot 12 \end{bmatrix} \ = \ $$
$$\ = \ \begin{bmatrix} 58 & 64 \\ 139 & 154 \end{bmatrix} $$
2nd [ [ 1 , 2 , 3 ]
[ 4 , 5 , 6 ] ]
2nd × 2nd [ [ 7 , 8 ]
[ 9 , 1 0 ]
[ 1 1 , 1 2 ] ] =
محدد المصفوفة
محدد المصفوفة ($det(A)$ أو $|A|$) هو كمية تميز خصائص المصفوفة المربعة.
مثال على حساب المحدد (يجب إدخال det في الحقل الفارغ تحت شاشة الآلة الحاسبة باستخدام لوحة مفاتيح الكمبيوتر الخاص بك):
$$ |A| = \begin{vmatrix} 1 & -2 & 3 \\ 4 & 0 & 6 \\ -7 & 8 & 9 \end{vmatrix} = 204 $$
d e t ( 2nd [
[ 1 , - 2 , 3 ]
[ 4 , 0 , 6 ]
[ - 7 , 8 , 9 ]
] 2nd ) =
ترانسبوز المصفوفة
الترانسبوز هي عملية تبديل أماكن صفوف وأعمدة المصفوفة الأصلية، بحيث تصبح الصفوف أعمدة والأعمدة صفوفًا. إذا كانت $A$ هي المصفوفة الأصلية، فإن المصفوفة المترانسبوزة تُرمز لها بـ $A^T$. إذا كان حجم المصفوفة الأصلية $A$ هو $m \times n$، فإن حجم المصفوفة المترانسبوزة $A^T$ سيكون $n \times m$.
$$ A = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \dots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \dots & a_{mn} \end{bmatrix} $$
للحصول على المصفوفة المترانسبوزة $A^T$، يجب تبديل أماكن صفوف وأعمدة المصفوفة الأصلية $A$. ولتحقيق ذلك، يجب اتباع الخطوات التالية.
خذ العناصر من الصف الأول من $a_{11}$ إلى $a_{1n}$ واكتبها كالعمود الأول للمصفوفة المترانسبوزة $A^T$:
$$ A^T = \begin{bmatrix} a_{11} \\ a_{12} \\ \vdots \\ a_{1n} \end{bmatrix} $$
خذ العناصر من الصف الثاني من $a_{21}$ إلى $a_{2n}$ واكتبها كالعمود الثاني لـ $A^T$:
$$ A^T = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{21} \\ a_{12} & a_{22} \\ \vdots & \vdots \\ a_{1n} & a_{2n} \end{bmatrix} $$
كرر هذه الخطوة لجميع صفوف المصفوفة $A$ حتى يتم كتابتها كأعمدة لـ $A^T$:
$$ A^T = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{21} & \dots & a_{m1} \\ a_{12} & a_{22} & \dots & a_{m2} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{1n} & a_{2n} & \dots & a_{mn} \end{bmatrix} $$
وبالتالي، تقابل العناصر $a^T_{ij}$ للمصفوفة المترانسبوزة $A^T$ العناصر $a_{ji}$ للمصفوفة الأصلية $A$.
مثال على ترانسبوز المصفوفة:
$$ A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \\ 5 & 6 \end{bmatrix} \ \ A^T = \begin{bmatrix} 1 & 3 & 5 \\ 2 & 4 & 6 \end{bmatrix} $$