Tənlik kalkulyatoru
Bu kalkulyatorun köməyi ilə xətti, kvadratik və ya kubik tənliyi onlayn həll edə bilərsiniz. Hesablama nümunələrini müvafiq bölmədə tapa bilərsiniz.
Tənliklərin həlli
Tənlik - bu dəyişənli (və ya naməlumlu) bir bərabərlikdir. Bir $x$ dəyişənli tənlik ümumi halda adətən belə yazılır: $f(x) = g(x)$.
Tənliyin həlli (və ya kökü) dəyişənin elə bir qiymətidir ki, onda tənlik doğru rəqəm bərabərliyinə çevrilir. Tənliyi həll etmək onun bütün həllərini tapmaq və ya onların olmadığını sübut etməkdən ibarətdir.
Kalkulyatorda tənliyi həll etmək üçün: əvvəlcə tənliyin = işarəsinə qədər olan hissəsini daxil edin, x=y düyməsini basın, tənliyin qalan hissəsini daxil edin, hesablamaları aparmaq üçün = düyməsini basın. Məsələn, $2x - 4 = 0$ tənliyinin kökü $x = 2$-dir. Budur tənlik kalkulyatorunun köməyi ilə bu nəticəni necə əldə etmək olur:
$$2x - 4 = 0 \\ \Downarrow \\ x = 2$$
2 x - 4 x=y 0 =
Xətti tənliklər
Bir naməlumlu xətti tənlik aşağıdakı kimi bir tənlikdir:
$$ax + b = 0,$$
burada
- $x$ - naməlumludur,
- $a$ - naməlumun əmsalıdır,
- $b$ - tənliyin sərbəst həddidir.
Xətti tənliklər ən sadə cəbri tənliklər olub, onların həlli sadə arifmetik əməliyyatların yerinə yetirilməsinə gətirilir.
Həll nümunələri:
$$4x - 16 = 0 \\ \Downarrow \\ x = 4$$
4 x - 1 6 x=y 0 =
$$3x + 2 = 6 - x \\ \Downarrow \\ x = 1$$
3 x + 2 x=y 6 - x =
Kvadratik tənliklər
Kvadratik tənlik aşağıdakı kimi bir tənlikdir:
$$ax^2 + bx + c = 0 \ \ \ (a \ne 0)$$
Kalkulyatorda kvadratik tənliklərin həlli:
$$4x^2 - 6x + 2 = 0 \\ \Downarrow \\ x_1 = 1, \ x_2 = 0.5$$
4 x x2 - 6 x
+ 2 x=y 0 =
$$x^2 - 3x - 4 = 0 \\ \Downarrow \\ x_1 = 4, \ x_2 = -1$$
x x2 - 3 x - 4 x=y 0 =
$$x^2 - 4x + 4 = 0 \\ \Downarrow \\ x_1 = x_2 = x = 2$$
x x2 - 4 x + 4 x=y 0 =
Əmsallar arasındakı nisbətlər
Belə kvadratik tənliklər var ki, onlarda əmsallar bu tənlikləri xeyli sadə həll etməyə imkan verən nisbətlərdədir.
$$a + b + c = 0 \\ \Downarrow \\ x_1 = 1, \ x_2 = \frac {c} {a}$$
$$a + c = b \\ \Downarrow \\ x_1 = -1, \ x_2 = - \frac {c} {a}$$
Belə tənliklərin kökləri kalkulyator vasitəsilə də tapıla bilər.
Diskriminant
Diskriminantdan kvadratik tənliyin köklərini tapmaq üçün istifadə olunur. Diskriminantın hesablanması düsturu:
$$D = b^2 - 4ac$$
Diskriminantdan istifadə etməklə köklər tapılır:
$$x_{1,2} = \frac {-b \pm \sqrt D} {2a}$$
Əgər $D > 0$ olarsa, onda tənliyin iki müxtəlif kökü var. Məsələn:
$$4x^2 - 6x + 2 = 0 \\ \Downarrow \\ a = 4, \ b = -6, \ c = 2 \\ \Downarrow \\ D = (-6)^2 - 4 × 4 × 2 = 4 \\ \Downarrow \\ x_{1,2} = \frac {-(-6) \pm \sqrt 4} {2 × 4} \\ \Downarrow \\ x_1 = \frac {6 + 2} {8} = 1, \ x_2 = \frac {6 - 2} {8} = 0.5$$
Əgər $D = 0$ olarsa, onda tənliyin bir kökü var (və ya iki eyni kök). Məsələn:
$$x^2 - 4x + 4 = 0 \\ \Downarrow \\ a = 1, \ b = -4, \ c = 4 \\ \Downarrow \\ D = (-4)^2 - 4 × 1 × 4 = 0 \\ \Downarrow \\ x_{1,2} = \frac {-(-4) \pm \sqrt 0} {2 × 1} \\ \Downarrow \\ x_1 = x_2 = x = \frac {4 \pm 0} {2} = 2$$
Əgər $D < 0$ olarsa, onda tənliyin həqiqi ədədlər çoxluğunda kökü yoxdur:
$$x^2 + 4x + 5 = 0 \\ \Downarrow \\ a = 1, \ b = 4, \ c = 5 \\ \Downarrow \\ D = 6^2 - 4 × 1 × 5 = -4 \\ \Downarrow \\ x_{1,2} = \frac {-4 \pm \sqrt {-4}} {2 × 1} \\ \Downarrow \\ x_1 = \frac {-4 + 2i} {2} = -2 + i, \\ x_2 = \frac {-4 - 2i} {2} = -2 - i$$
Viet teoremi
Viet teoremi kvadratik tənliyin $x_1, x_2$ kökləri ilə onun $a, b, c$ əmsalları arasında sadə cəbri münasibətlər (Viet düsturları) müəyyən edir. Bu düsturlardan istifadə etməklə, əgər əmsallar məlumdursa, kökləri tapmaq, ya da əksinə, əgər köklər məlumdursa, əmsalları hesablamaq olar.
Viet düsturları:
$$\begin {cases} x_1 + x_2 = - \dfrac {b} {a} \\ x_1 x_2 = \dfrac {c} {a} \end {cases}$$
Bikvadratik tənliklər
Bikvadratik tənlik aşağıdakı kimi bir tənlikdir:
$$ax^4 + bx^2 + c = 0 \ \ \ (a \ne 0)$$
Əgər $x^2$ yerinə $y \ (y \ge 0)$ əvəzləməsi aparılsa, onda kvadratik bir tənlik alınacaq və onun $y_1, y_2$ kökləri tapıla bilər. Bikvadratik tənliyin kökləri belə tapılır:
$$x_{1,2} = \pm \sqrt {y_1}, \ \ \ x_{3,4} = \pm \sqrt {y_2}$$
Kubik tənliklər
Kubik tənlik aşağıdakı kimi bir tənlikdir:
$$ax^3 + bx^2 + cx + d = 0 \ \ \ (a \ne 0)$$
Həll nümunəsi:
$$x^3 - 6x^2 - 31x + 120 = 0 \\ \Downarrow \\ x_1 = -5, x_2 = 3, x_3 = 8$$
x x3 - 6 x x2 - 3 1 x
+ 1 2 0 x=y 0 =
Əgər kubik tənlik $a$-ya bölünsə və $x$ yerinə $y - \frac {b} {3a}$ əvəzləməsi aparılsa, o daha sadə aşağıdakı şəklə düşər:
$$y^3 + py + q = 0,$$
burada
$y = x + \frac {b} {3a}$,
$p = \frac {c} {a} - \frac {b^2} {3a^2} = \frac {3ac - b^2} {3a^2}$,
$q = \frac {2b^3} {27a^3} - \frac {bc} {3a^2} + \frac {d} {a} = \frac {2b^3 - 9abc + 27a^2d} {27a^3}$.
Kardano düsturu
Əgər kubik tənlik aşağıdakı şəkildədirsə:
$$y^3 + py + q = 0,$$
onda bu tənliyin köklərini tapmaq üçün Kardano düsturundan istifadə etmək olar:
$$x = \sqrt[3] {- \frac {q} {2} + \sqrt {\frac {q^2} {4} + \frac {p^3} {27}}} + \\ + \ \sqrt[3] {- \frac {q} {2} - \sqrt {\frac {q^2} {4} + \frac {p^3} {27}}}$$