İnteqralların kalkulyatoru
Bu kalkulyatorun köməyi ilə müəyyənsiz və ya müəyyən inteqralı hesablaya bilərsiniz. Hesablama nümunələri müvafiq bölmədə tapa bilərsiniz.
Bəzi əsas inteqralları hesablamaq əvəzinə, törəməni birbaşa cədvəldən tapa bilərsiniz.
Törəmə
$f(x)$ funksiyası üçün törəmə - $F^{\prime}(x) = f(x)$ olan, yəni törəməsi $f(x)$-ə bərabər olan $F(x)$ funksiyasıdır. Törəmənin tapılması, differensiallama əməliyyatına əksdir.
Əgər $F(x)$, $f(x)$ üçün törəmədirsə, onda $F(x) + C$ funksiyası da $f(x)$ üçün törəmədir, burada $C$ - ixtiyari sabitmdir.
Müəyyənsiz inteqral
Funksiya $f(x)$ üçün müəyyənsiz inteqral - bu funksiya üçün bütün törəmələr toplusudur. Bu belə işarə olunur:
$$\int f(x) dx = F(x) + C,$$
burada:
- $\int$ - inteqral işarəsi
- $f(x)$ - inteqralaltı funksiya
- $dx$ - inteqrallama elementi
- $F(x)$ - törəmə
- $C$ - inteqrallama sabiti
İnteqralın tapılması əməliyyatı inteqrallama adlanır.
Xassələr
Müəyyənsiz inteqralın əsas xassələri:
$$\int a \cdot f(x) dx = \\ = a \cdot \int f(x) dx \ \ \ (a \ne 0)$$
$$\int (f(x) \pm g(x)) dx = \\ = \int f(x) dx \pm \int g(x) dx$$
Hesablama nümunələri
Aşağıda müəyyənsiz inteqralların hesablanması nümunələri verilmişdir. İnteqralların kalkulyatorunda bu hesablamaları aparmaq üçün hər bir nümunənin altında göstərilən düymələrə ardıcıl şəkildə basmalısınız. Qeyd: kalkulyatorun ekranının altındakı boş sahəyə int daxil edin, kompüterinizin klaviaturasını istifadə edin.
$$\int x^3 dx = \frac {x^4} {4} + C$$
i n t ( x xy 3 ) =
$$\int \sin 7x dx = - \frac {\cos 7x} {7} + C$$
i n t ( sin 7 x ) =
$$\int x^3 y dy = \frac {x^3 y^2} {2} + C$$
i n t ( x x^3 y , y ) =
İnteqrallar cədvəli
Əsas müəyyənsiz inteqrallar və onların törəmələrinin cədvəli:
| $\int f(x) dx$ | $F(x) + C$ |
|---|---|
| $$\int 0 \cdot dx$$ | $$C$$ |
| $$\int dx$$ | $$x + C$$ |
| $$\int x^n dx$$ | $$\frac {x^{n + 1}} {n + 1} + C \ \ \ (n \ne -1)$$ |
| $$\int \frac {1} {x} dx$$ | $$\ln | x | + C$$ |
| $$\int e^x dx$$ | $$e^x + C$$ |
| $$\int a^x dx$$ | $$\frac {a^x} {\ln a} + C \ \ \ (a > 0, a \ne 1)$$ |
| $$\int \cos x dx$$ | $$\sin x + C$$ |
| $$\int \sin x dx$$ | $$- \cos x + C$$ |
| $$\int \frac {dx} {\cos^2 x}$$ | $$\tg x + C$$ |
| $$\int \frac {dx} {\sin^2 x}$$ | $$- \ctg x + C$$ |
| $$\int \frac {dx} {\sqrt {1 - x^2}}$$ | $$\begin{gathered} \arcsin x + C_1 = \\ = - \arccos x + C_2 \\ (C_2 = \frac {\pi} {2} + C_1) \end{gathered}$$ |
| $$\int \frac {dx} {1 + x^2}$$ | $$\arctg x + C$$ |
| $$\int \ch x dx$$ | $$\sh x + C$$ |
| $$\int \sh x dx$$ | $$\ch x + C$$ |
Müəyyən inteqral
Əgər $F(x)$, [a;b] parçasında təyin olunmuş və davamlı olan $f(x)$ funksiyası üçün törəmədirsə, onda müəyyən inteqral aşağıdakı düsturla hesablanır:
$$\int _a^b f(x) dx = F(x) \mid _a^b = F(b) - F(a)$$
Xassələr
Müəyyən inteqralın əsas xassələri:
$$\int _a^a f(x) dx = 0$$
$$\int _a^b f(x) dx = - \int _b^a f(x) dx$$
$$\int _a^b f(x) dx = \int _a^c f(x) dx + \\ + \int _c^b f(x) dx \ \ \ (c \in [a;b])$$
Hesablama nümunələri
Aşağıda müəyyən inteqralların hesablanması nümunələri verilmişdir. Bu hesablamaları kalkulyatorda aparmaq üçün hər bir nümunənin altında göstərilən düymələrə ardıcıl şəkildə basmalısınız. Qeyd: kalkulyatorun ekranının altındakı boş sahəyə int daxil edin, kompüterinizin klaviaturasını istifadə edin.
$$\int _1^3 (5 + x) dx = 14$$
i n t ( 5 + x ,
x 2nd var 1 . . 3 2nd ) =
$$\int _5^8 x^2 dx = 129$$
i n t ( x x2 ,
x 2nd var 5 . . 8 2nd ) =