Matris kalkulyatoru
Bu kalkulyator vasitəsilə matrislərə toplama, çıxma və ya vurma əməliyyatlarını yerinə yetirə, həmçinin matrisin determinantını hesablaya bilərsiniz. Lazımi hesablamaları yerinə yetirmək üçün aidiyyatı bölmədə nümunənin altında göstərilən düymələri ardıcıl basmalısınız.
Matrisin transponunu kalkulyator olmadan da asanlıqla alacaqsınız, sadəcə ətraflı təlimata əməl edin.
Riyaziyyatda matris nədir
Matris - $m$ sıra və $n$ sütundan ibarət olan hansısa elementlərin (ədədlərin, simvolların və ya ifadələrin) düzbucaqlı cədvəlidir. Matrisin hər bir elementi müəyyən bir sıra və sütunun kəsişməsində yerləşir.
Matris adətən böyük hərflərlə, məsələn, $A$ ilə işarə olunur. Matrisin ayrı-ayrı elementləri indekslərin köməyi ilə işarə olunur, məsələn, $a_{12}$ - birinci sıra və ikinci sütunda yerləşən elementdir.
$$ A = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \dots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \dots & a_{mn} \end{bmatrix} $$
Matrisin ölçüsü $m \times n$ kimi işarə olunur. Məsələn, $3 \times 4$ ölçülü matrisin 3 sırası və 4 sütunu olacaq. Matrisin element sayını öyrənmək üçün $m$-i $n$-ə vurmaq lazımdır kalkulyatordan istifadə edərək: $3 \cdot 4 = 12$.
Matrislər üzərində toplama və çıxma əməliyyatları
Matrislərin toplanması və çıxılması - bu əməliyyatlar zamanı uyğun elementlər toplanır və ya çıxılır. Bu halda matrislərin ölçüsü eyni olmalıdır, yəni onlarda sıra və sütun sayı eyni olmalıdır.
Matrislər üzərində toplama nümunəsi:
$$ \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \end{bmatrix} \ + \ \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 3 & 2 & 1 \end{bmatrix} \ = \ $$
$$ \ = \ \begin{bmatrix} 1+1 & 2+2 & 3+3 \\ 4+3 & 5+2 & 6+1 \end{bmatrix} \ = \ $$
$$ \ = \ \begin{bmatrix} 2 & 4 & 6 \\ 7 & 7 & 7 \end{bmatrix} $$
2nd [ [ 1 , 2 , 3 ]
[ 4 , 5 , 6 ] ]
+ [ [ 1 , 2 , 3 ]
[ 3 , 2 , 1 ] ] =
Matrislər üzərində çıxma nümunəsi:
$$ \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \end{bmatrix} \ - \ \begin{bmatrix} 3 & 2 & 1 \\ 1 & 2 & 3 \end{bmatrix} \ = \ $$
$$\ = \ \begin{bmatrix} 1-3 & 2-2 & 3-1 \\ 4-1 & 5-2 & 6-3 \end{bmatrix} \ = \ $$
$$\ = \ \begin{bmatrix} -2 & 0 & 2 \\ 3 & 3 & 3 \end{bmatrix} $$
2nd [ [ 1 , 2 , 3 ]
[ 4 , 5 , 6 ] ]
- [ [ 3 , 2 , 1 ]
[ 1 , 2 , 3 ] ] =
Matrislər üzərində vurma əməliyyatı
İki matrisin vurulması - yeni matrisin hesablanması əməliyyatıdır ki, bu matris həmin matrislər üzərində vurma adlanır. Bu matrisin hər bir elementi ilkin matrisin müvafiq sırasının elementləri ilə ikinci matrisin müvafiq sütununun elementlərinin hasilləri cəminin bərabəridir. Matrislər üzərində vurma əməliyyatı üçün ilkin matrisin sütun sayı ikinci matrisin sıra sayına bərabər olmalıdır.
Matrislər üzərində vurma nümunəsi:
$$ \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \end{bmatrix} \ \cdot \ \begin{bmatrix} 7 & 8 \\ 9 & 10 \\ 11 & 12 \end{bmatrix} \ = \ $$
$$ \ = \ \begin{bmatrix} 1 \cdot 7 + 2 \cdot 9 + 3 \cdot 11 & 1 \cdot 8 + 2 \cdot 10 + 3 \cdot 12 \\ 4 \cdot 7 + 5 \cdot 9 + 6 \cdot 11 & 4 \cdot 8 + 5 \cdot 10 + 6 \cdot 12 \end{bmatrix} \ = \ $$
$$\ = \ \begin{bmatrix} 58 & 64 \\ 139 & 154 \end{bmatrix} $$
2nd [ [ 1 , 2 , 3 ]
[ 4 , 5 , 6 ] ]
2nd × 2nd [ [ 7 , 8 ]
[ 9 , 1 0 ]
[ 1 1 , 1 2 ] ] =
Matrisin determinantı
Matrisin determinantı ($det(A)$ və ya $|A|$) - kvadrat matrisin xüsusiyyətlərini xarakterizə edən kəmiyyətdir.
Determinant hesablaması nümunəsi (det-i kalkulyator ekranının altındakı boş sahəyə kompüterin klaviaturasını istifadə edərək daxil etmək lazımdır):
$$ |A| = \begin{vmatrix} 1 & -2 & 3 \\ 4 & 0 & 6 \\ -7 & 8 & 9 \end{vmatrix} = 204 $$
d e t ( 2nd [
[ 1 , - 2 , 3 ]
[ 4 , 0 , 6 ]
[ - 7 , 8 , 9 ]
] 2nd ) =
Matrisin transponu
Transpon - bu əməliyyat zamanı ilkin matrisin sıra və sütunları yer dəyişir, yəni sıralar sütunlara, sütunlar isə sıralara çevrilir. Əgər $A$ ilkin matrisdisə, onda transpon matris $A^T$ ilə işarə olunur. Əgər ilkin $A$ matrisi $m \times n$ ölçüsündədirsə, onda transponu $A^T$ matrisi $n \times m$ ölçüsündə olacaq.
$$ A = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \dots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \dots & a_{mn} \end{bmatrix} $$
$A^T$ transpon matrisini əldə etmək üçün ilkin $A$ matrisinin sıra və sütunlarını yer dəyişdirmək lazımdır. Bunun üçün aşağıdakı addımları yerinə yetirmək lazımdır.
$A$ matrisinin birinci sırasında yerləşən $a_{11}$-dən $a_{1n}$-ə qədər olan elementləri götürüb $A^T$ transpon matrisinin birinci sütunu kimi yazmaq:
$$ A^T = \begin{bmatrix} a_{11} \\ a_{12} \\ \vdots \\ a_{1n} \end{bmatrix} $$
$A$ matrisinin ikinci sırasında yerləşən $a_{21}$-dən $a_{2n}$-ə qədər olan elementləri götürüb $A^T$ transponunun ikinci sütunu kimi yazmaq:
$$ A^T = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{21} \\ a_{12} & a_{22} \\ \vdots & \vdots \\ a_{1n} & a_{2n} \end{bmatrix} $$
Bu addımı $A$ matrisinin bütün sıraları $A^T$ matrisinin sütunlarına yazılana qədər təkrarlamaq:
$$ A^T = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{21} & \dots & a_{m1} \\ a_{12} & a_{22} & \dots & a_{m2} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{1n} & a_{2n} & \dots & a_{mn} \end{bmatrix} $$
Beləliklə, $A^T$ transpon matrisinin $a^T_{ij}$ elementləri $A$ ilkin matrisinin $a_{ji}$ elementlərinə uyğun gəlir.
Matrisin transponunu almaq nümunəsi:
$$ A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \\ 5 & 6 \end{bmatrix} \ \ A^T = \begin{bmatrix} 1 & 3 & 5 \\ 2 & 4 & 6 \end{bmatrix} $$