Калкулатор за уравнения
С помощта на този калкулатор можете да решите линейно, квадратно или кубично уравнение онлайн. Примери за изчисления можете да намерите в съответния раздел.
Решаване на уравнения
Уравнението е равенство с променлива (или неизвестна). Уравнението с една променлива $x$ обикновено се записва в общ вид по следния начин: $f(x) = g(x)$.
Решение (или корен) на уравнението се нарича такава стойност на променливата, при която уравнението се превръща в вярно числено равенство. Да се реши уравнение означава да се намерят всичките му решения или да се докаже, че няма такива.
Как да се реши уравнение на калкулатора: първо въведете частта на уравнението до знака =, натиснете бутона x=y, въведете оставащата част на уравнението, натиснете бутона =, за да извършите изчисленията. Например за уравнението $2x - 4 = 0$ коренът е $x = 2$. Ето как е получен този резултат с помощта на калкулатора за уравнения:
$$2x - 4 = 0 \\ \Downarrow \\ x = 2$$
2 x - 4 x=y 0 =
Линейни уравнения
Линейното уравнение с една неизвестна е уравнение от следния вид:
$$ax + b = 0,$$
където
- $x$ е неизвестната,
- $a$ е коефициентът пред неизвестната,
- $b$ е свободният член на уравнението.
Линейните уравнения са най-простият вид алгебрични уравнения, чието решаване се свежда до извършване на прости аритметични действия.
Примери за решения:
$$4x - 16 = 0 \\ \Downarrow \\ x = 4$$
4 x - 1 6 x=y 0 =
$$3x + 2 = 6 - x \\ \Downarrow \\ x = 1$$
3 x + 2 x=y 6 - x =
Квадратни уравнения
Квадратно уравнение се нарича уравнение от следния вид:
$$ax^2 + bx + c = 0 \ \ \ (a \ne 0)$$
Решаване на квадратни уравнения на калкулатора:
$$4x^2 - 6x + 2 = 0 \\ \Downarrow \\ x_1 = 1, \ x_2 = 0.5$$
4 x x2 - 6 x
+ 2 x=y 0 =
$$x^2 - 3x - 4 = 0 \\ \Downarrow \\ x_1 = 4, \ x_2 = -1$$
x x2 - 3 x - 4 x=y 0 =
$$x^2 - 4x + 4 = 0 \\ \Downarrow \\ x_1 = x_2 = x = 2$$
x x2 - 4 x + 4 x=y 0 =
Съотношения на коефициентите
Съществуват квадратни уравнения, чиито коефициенти са в съотношения, които позволяват тези уравнения да бъдат решавани много по-лесно.
$$a + b + c = 0 \\ \Downarrow \\ x_1 = 1, \ x_2 = \frac {c} {a}$$
$$a + c = b \\ \Downarrow \\ x_1 = -1, \ x_2 = - \frac {c} {a}$$
Корените на такива уравнения могат да бъдат намерени и с помощта на обикновен калкулатор.
Дискриминанта
Дискриминантата се използва за намиране на корените на квадратно уравнение. Формулата за изчисляване на дискриминантата е:
$$D = b^2 - 4ac$$
Формула за изчисляване на корените с използване на дискриминантата:
$$x_{1,2} = \frac {-b \pm \sqrt D} {2a}$$
Ако $D > 0$, уравнението има два различни корена. Например:
$$4x^2 - 6x + 2 = 0 \\ \Downarrow \\ a = 4, \ b = -6, \ c = 2 \\ \Downarrow \\ D = (-6)^2 - 4 × 4 × 2 = 4 \\ \Downarrow \\ x_{1,2} = \frac {-(-6) \pm \sqrt 4} {2 × 4} \\ \Downarrow \\ x_1 = \frac {6 + 2} {8} = 1, \ x_2 = \frac {6 - 2} {8} = 0.5$$
Ако $D = 0$, уравнението има един корен (или два еднакви корена). Например:
$$x^2 - 4x + 4 = 0 \\ \Downarrow \\ a = 1, \ b = -4, \ c = 4 \\ \Downarrow \\ D = (-4)^2 - 4 × 1 × 4 = 0 \\ \Downarrow \\ x_{1,2} = \frac {-(-4) \pm \sqrt 0} {2 × 1} \\ \Downarrow \\ x_1 = x_2 = x = \frac {4 \pm 0} {2} = 2$$
Ако $D < 0$, уравнението няма корени в множеството на реалните числа:
$$x^2 + 4x + 5 = 0 \\ \Downarrow \\ a = 1, \ b = 4, \ c = 5 \\ \Downarrow \\ D = 6^2 - 4 × 1 × 5 = -4 \\ \Downarrow \\ x_{1,2} = \frac {-4 \pm \sqrt {-4}} {2 × 1} \\ \Downarrow \\ x_1 = \frac {-4 + 2i} {2} = -2 + i, \\ x_2 = \frac {-4 - 2i} {2} = -2 - i$$
Теоремата на Виет
Теоремата на Виет установява прости алгебрични съотношения (формули на Виет) между корените $x_1, x_2$ на квадратно уравнение и неговите коефициенти $a, b, c$. Използвайки тези формули, можете да намерите корените, ако са известни коефициентите, или да изчислите коефициентите, ако са известни корените.
Формули на Виет:
$$\begin {cases} x_1 + x_2 = - \dfrac {b} {a} \\ x_1 x_2 = \dfrac {c} {a} \end {cases}$$
Биквадратни уравнения
Биквадратно уравнение се нарича уравнение от следния вид:
$$ax^4 + bx^2 + c = 0 \ \ \ (a \ne 0)$$
Ако се направи заместване на $x^2$ с $y \ (y \ge 0)$, се получава квадратно уравнение, за което могат да се намерят корените $y_1, y_2$. Корените на биквадратното уравнение се намират по следния начин:
$$x_{1,2} = \pm \sqrt {y_1}, \ \ \ x_{3,4} = \pm \sqrt {y_2}$$
Кубични уравнения
Кубично уравнение се нарича уравнение от следния вид:
$$ax^3 + bx^2 + cx + d = 0 \ \ \ (a \ne 0)$$
Пример за решение:
$$x^3 - 6x^2 - 31x + 120 = 0 \\ \Downarrow \\ x_1 = -5, x_2 = 3, x_3 = 8$$
x x3 - 6 x x2 - 3 1 x
+ 1 2 0 x=y 0 =
Ако кубичното уравнение се раздели на $a$ и $x$ се замести с $y - \frac {b} {3a}$, то то ще приеме следния по-прост вид:
$$y^3 + py + q = 0,$$
където
$y = x + \frac {b} {3a}$,
$p = \frac {c} {a} - \frac {b^2} {3a^2} = \frac {3ac - b^2} {3a^2}$,
$q = \frac {2b^3} {27a^3} - \frac {bc} {3a^2} + \frac {d} {a} = \frac {2b^3 - 9abc + 27a^2d} {27a^3}$.
Формулата на Кардано
Ако кубичното уравнение има следния вид:
$$y^3 + py + q = 0,$$
то за намиране на корените на това уравнение може да се приложи формулата на Кардано:
$$x = \sqrt[3] {- \frac {q} {2} + \sqrt {\frac {q^2} {4} + \frac {p^3} {27}}} + \\ + \ \sqrt[3] {- \frac {q} {2} - \sqrt {\frac {q^2} {4} + \frac {p^3} {27}}}$$