Калкулатор за интеграли

С помощта на този калкулатор можете да изчислите неопределен или определен интеграл. Примери за изчисления можете да намерите в съответния раздел.

Някои основни интеграли могат да не се изчисляват, а да се намери първообразната директно в таблицата.

Първообразна

Първообразната за функцията $f(x)$ е такава функция $F(x)$, чиято производна е равна на $f(x)$, т.е. $F^{\prime}(x) = f(x)$. Намирането на първообразна е операция, обратна на диференцирането.

Ако $F(x)$ е първообразна на $f(x)$, то функцията $F(x) + C$, където $C$ е произволна константа, също е първообразна на $f(x)$.

Неопределен интеграл

Неопределеният интеграл за функция $f(x)$ е съвкупността от всички първообразни на тази функция. Обозначава се по следния начин:

$$\int f(x) dx = F(x) + C,$$

където

$\int$ – знак за интеграл
$f(x)$ – подинтегрална функция
$dx$ – елемент на интегриране
$F(x)$ – първообразна
$C$ – константа на интегриране

Операцията по намиране на интеграл се нарича интегриране.

Свойства

Основните свойства на неопределения интеграл са:

$$\int a \cdot f(x) dx = \\ = a \cdot \int f(x) dx \ \ \ (a \ne 0)$$

$$\int (f(x) \pm g(x)) dx = \\ = \int f(x) dx \pm \int g(x) dx$$

Примери за изчисление

По-долу са дадени примери за изчисляване на неопределени интеграли. За да извършите тези изчисления на калкулатора за интеграли, трябва последователно да натиснете бутоните, посочени под всеки пример. Забележка: въведете int в празното поле под екрана на калкулатора, използвайки клавиатурата на компютъра си.

$$\int x^3 dx = \frac {x^4} {4} + C$$

i n t ( x x^y 3 ) =

$$\int \sin 7x dx = - \frac {\cos 7x} {7} + C$$

i n t ( sin 7 x ) =

$$\int x^3 y dy = \frac {x^3 y^2} {2} + C$$

i n t ( x x^3 y , y ) =

Таблица на интеграли

Таблица с основните неопределени интеграли и съответстващите им първообразни:

$\int f(x) dx$	$F(x) + C$
$$\int 0 \cdot dx$$	$$C$$
$$\int dx$$	$$x + C$$
$$\int x^n dx$$	$$\frac {x^{n + 1}} {n + 1} + C \ \ \ (n \ne -1)$$
$$\int \frac {1} {x} dx$$	$$\ln \| x \| + C$$
$$\int e^x dx$$	$$e^x + C$$
$$\int a^x dx$$	$$\frac {a^x} {\ln a} + C \ \ \ (a > 0, a \ne 1)$$
$$\int \cos x dx$$	$$\sin x + C$$
$$\int \sin x dx$$	$$- \cos x + C$$
$$\int \frac {dx} {\cos^2 x}$$	$$\tg x + C$$
$$\int \frac {dx} {\sin^2 x}$$	$$- \ctg x + C$$
$$\int \frac {dx} {\sqrt {1 - x^2}}$$	$$\begin{gathered} \arcsin x + C_1 = \\ = - \arccos x + C_2 \\ (C_2 = \frac {\pi} {2} + C_1) \end{gathered}$$
$$\int \frac {dx} {1 + x^2}$$	$$\arctg x + C$$
$$\int \ch x dx$$	$$\sh x + C$$
$$\int \sh x dx$$	$$\ch x + C$$

Определен интеграл

Ако $F(x)$ е първообразна на функция $f(x)$, която е дефинирана и непрекъсната на отрезъка $[a;b]$, то определеният интеграл се изчислява по формулата:

$$\int _a^b f(x) dx = F(x) \mid _a^b = F(b) - F(a)$$

Свойства

Основните свойства на определения интеграл са:

$$\int _a^a f(x) dx = 0$$

$$\int _a^b f(x) dx = - \int _b^a f(x) dx$$

$$\int _a^b f(x) dx = \int _a^c f(x) dx + \\ + \int _c^b f(x) dx \ \ \ (c \in [a;b])$$

Примери за изчисление

По-долу са дадени примери за изчисляване на определени интеграли. За да извършите тези изчисления на калкулатора, трябва последователно да натиснете бутоните, посочени под всеки пример. Забележка: въведете int в празното поле под екрана на калкулатора, използвайки клавиатурата на компютъра си.

$$\int _1^3 (5 + x) dx = 14$$

i n t ( 5 + x ,
x 2^nd var 1 . . 3 2^nd ) =

$$\int _5^8 x^2 dx = 129$$

i n t ( x x² ,
x 2^nd var 5 . . 8 2^nd ) =