Калкулатор за матрици
С помощта на този калкулатор можете да извършите събиране, изваждане или умножение на матрици, както и да изчислите детерминантата на матрица. За да направите необходимите изчисления, трябва последователно да натиснете бутоните, посочени под примера в съответния раздел.
Транспонирането на матрица можете лесно да извършите дори без калкулатор, просто следвайте подробните инструкции.
Какво е матрица в математиката
Матрицата е правоъгълна таблица на произволни елементи (числа, символи или изрази), състояща се от $m$ реда и $n$ колони. Всеки елемент на матрицата се намира на пресечната точка на определен ред и колона.
Матрицата обикновено се обозначава с главна буква, например $A$. Отделните елементи на матрицата се обозначават с индекси, например $a_{12}$ е елемента, намиращ се на първия ред и втората колона.
$$ A = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \dots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \dots & a_{mn} \end{bmatrix} $$
Размерът на матрицата се обозначава като $m \times n$. Например, матрица с размер $3 \times 4$ ще има 3 реда и 4 колони. Броят на елементите в матрицата може да се намери чрез умножение на $m$ по $n$ на обикновен калкулатор: $3 \cdot 4 = 12$.
Събиране и изваждане на матрици
Събирането и изваждането на матрици са операции, при които съответните елементи на матриците се събират или изваждат. При това е необходимо матриците да имат един и същ размер, т.е. да имат еднакъв брой редове и колони.
Пример за събиране на матрици:
$$ \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \end{bmatrix} \ + \ \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 3 & 2 & 1 \end{bmatrix} \ = \ $$
$$ \ = \ \begin{bmatrix} 1+1 & 2+2 & 3+3 \\ 4+3 & 5+2 & 6+1 \end{bmatrix} \ = \ $$
$$ \ = \ \begin{bmatrix} 2 & 4 & 6 \\ 7 & 7 & 7 \end{bmatrix} $$
2nd [ [ 1 , 2 , 3 ]
[ 4 , 5 , 6 ] ]
+ [ [ 1 , 2 , 3 ]
[ 3 , 2 , 1 ] ] =
Пример за изваждане на матрици:
$$ \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \end{bmatrix} \ - \ \begin{bmatrix} 3 & 2 & 1 \\ 1 & 2 & 3 \end{bmatrix} \ = \ $$
$$\ = \ \begin{bmatrix} 1-3 & 2-2 & 3-1 \\ 4-1 & 5-2 & 6-3 \end{bmatrix} \ = \ $$
$$\ = \ \begin{bmatrix} -2 & 0 & 2 \\ 3 & 3 & 3 \end{bmatrix} $$
2nd [ [ 1 , 2 , 3 ]
[ 4 , 5 , 6 ] ]
- [ [ 3 , 2 , 1 ]
[ 1 , 2 , 3 ] ] =
Умножение на матрици
Умножението на две матрици е операция за изчисляване на нова матрица, наречена произведение на матриците. Всеки елемент на тази матрица е равен на сумата от произведенията на елементите в съответните ред на първата матрица и колона на втората матрица. За умножението на матриците е необходимо броят на колоните в първата матрица да е равен на броя на редовете във втората матрица.
Пример за умножение на матрици:
$$ \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \end{bmatrix} \ \cdot \ \begin{bmatrix} 7 & 8 \\ 9 & 10 \\ 11 & 12 \end{bmatrix} \ = \ $$
$$ \ = \ \begin{bmatrix} 1 \cdot 7 + 2 \cdot 9 + 3 \cdot 11 & 1 \cdot 8 + 2 \cdot 10 + 3 \cdot 12 \\ 4 \cdot 7 + 5 \cdot 9 + 6 \cdot 11 & 4 \cdot 8 + 5 \cdot 10 + 6 \cdot 12 \end{bmatrix} \ = \ $$
$$\ = \ \begin{bmatrix} 58 & 64 \\ 139 & 154 \end{bmatrix} $$
2nd [ [ 1 , 2 , 3 ]
[ 4 , 5 , 6 ] ]
2nd × 2nd [ [ 7 , 8 ]
[ 9 , 1 0 ]
[ 1 1 , 1 2 ] ] =
Детерминанта на матрица
Детерминантата на матрица ($det(A)$ или $|A|$) е величина, която характеризира свойствата на квадратна матрица.
Пример за изчисляване на детерминанта (det трябва да се въведе в празното поле под екрана на калкулатора, използвайки клавиатурата на вашия компютър):
$$ |A| = \begin{vmatrix} 1 & -2 & 3 \\ 4 & 0 & 6 \\ -7 & 8 & 9 \end{vmatrix} = 204 $$
d e t ( 2nd [
[ 1 , - 2 , 3 ]
[ 4 , 0 , 6 ]
[ - 7 , 8 , 9 ]
] 2nd ) =
Транспониране на матрица
Транспонирането е операция, при която редовете и колоните на изходната матрица се разменят, т.е. редовете стават колони, а колоните - редове. Ако $A$ е изходната матрица, транспонираната матрица се обозначава като $A^T$. Ако изходната матрица $A$ има размер $m \times n$, то транспонираната матрица $A^T$ ще има размер $n \times m$.
$$ A = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \dots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \dots & a_{mn} \end{bmatrix} $$
За да получите транспонираната матрица $A^T$, трябва да размените редовете и колоните на изходната матрица $A$. За целта трябва да извършите следните действия.
Вземете елементите на първия ред от $a_{11}$ до $a_{1n}$ и ги запишете като първа колона на транспонираната матрица $A^T$:
$$ A^T = \begin{bmatrix} a_{11} \\ a_{12} \\ \vdots \\ a_{1n} \end{bmatrix} $$
Вземете елементите на втория ред от $a_{21}$ до $a_{2n}$ и ги запишете като втора колона на $A^T$:
$$ A^T = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{21} \\ a_{12} & a_{22} \\ \vdots & \vdots \\ a_{1n} & a_{2n} \end{bmatrix} $$
Повтаряйте тази стъпка за всички редове на матрицата $A$, докато не бъдат записани като колони на $A^T$:
$$ A^T = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{21} & \dots & a_{m1} \\ a_{12} & a_{22} & \dots & a_{m2} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{1n} & a_{2n} & \dots & a_{mn} \end{bmatrix} $$
По този начин елементите $a^T_{ij}$ на транспонираната матрица $A^T$ съответстват на елементите $a_{ji}$ на изходната матрица $A$.
Пример за транспониране на матрица:
$$ A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \\ 5 & 6 \end{bmatrix} \ \ A^T = \begin{bmatrix} 1 & 3 & 5 \\ 2 & 4 & 6 \end{bmatrix} $$