সমীকরণ ক্যালকুলেটর
এই ক্যালকুলেটরের সাহায্যে আপনি অনলাইনে রৈখিক, বর্গীয় বা ঘনীয় সমীকরণ সমাধান করতে পারবেন। গণনার উদাহরণ সংশ্লিষ্ট বিভাগে পাওয়া যাবে।
সমীকরণ সমাধান
সমীকরণ হল একটি সমতা যাতে অজানা (বা চলক) রয়েছে। একটি অজানা $x$ সহ সমীকরণ সাধারণভাবে এভাবে লেখা হয়: $f(x) = g(x)$।
সমীকরণের সমাধান (বা মূল) হল এমন অজানার মান যে সমীকরণটি একটি সঠিক সংখ্যাগত সমতায় রূপান্তরিত হয়। সমীকরণ সমাধান করা মানে এর সমস্ত সমাধান খুঁজে বের করা বা প্রমাণ করা যে কোনও সমাধান নেই।
ক্যালকুলেটরে সমীকরণ সমাধান করার জন্য: প্রথমে সমীকরণের অংশটি = চিহ্নের আগে প্রবেশ করান, x=y বাটনটি টিপুন, তারপর সমীকরণের অবশিষ্ট অংশটি প্রবেশ করান, এবং গণনা করতে = বাটনটি টিপুন। উদাহরণস্বরূপ, $2x - 4 = 0$ সমীকরণের মূল হল $x = 2$। সমীকরণ ক্যালকুলেটর দিয়ে কীভাবে এই ফলাফল পাওয়া হয়েছে তা নিম্নরূপ:
$$2x - 4 = 0 \\ \Downarrow \\ x = 2$$
2 x - 4 x=y 0 =
রৈখিক সমীকরণ
একটি অজানা সহ রৈখিক সমীকরণ হল নিম্নরূপের সমীকরণ:
$$ax + b = 0,$$
যেখানে
- $x$ হল অজানা,
- $a$ হল অজানার গুণাংক,
- $b$ হল সমীকরণের স্বাধীন সদস্য।
রৈখিক সমীকরণগুলি সরলতম বীজগণিতীয় সমীকরণ, যার সমাধান শুধুমাত্র সহজ অঙ্কগণিতীয় কর্ম সম্পাদনের সাথে সম্পর্কিত।
সমাধানের উদাহরণ:
$$4x - 16 = 0 \\ \Downarrow \\ x = 4$$
4 x - 1 6 x=y 0 =
$$3x + 2 = 6 - x \\ \Downarrow \\ x = 1$$
3 x + 2 x=y 6 - x =
বর্গীয় সমীকরণ
বর্গীয় সমীকরণ হল নিম্নরূপের সমীকরণ:
$$ax^2 + bx + c = 0 \ \ \ (a \ne 0)$$
ক্যালকুলেটরে বর্গীয় সমীকরণ সমাধান করা:
$$4x^2 - 6x + 2 = 0 \\ \Downarrow \\ x_1 = 1, \ x_2 = 0.5$$
4 x x2 - 6 x
+ 2 x=y 0 =
$$x^2 - 3x - 4 = 0 \\ \Downarrow \\ x_1 = 4, \ x_2 = -1$$
x x2 - 3 x - 4 x=y 0 =
$$x^2 - 4x + 4 = 0 \\ \Downarrow \\ x_1 = x_2 = x = 2$$
x x2 - 4 x + 4 x=y 0 =
গুণাংকের অনুপাত
এমন কিছু বর্গীয় সমীকরণ রয়েছে যেগুলির গুণাংকগুলি এমন অনুপাতে থাকে যা সেগুলি সহজেই সমাধান করার অনুমতি দেয়।
$$a + b + c = 0 \\ \Downarrow \\ x_1 = 1, \ x_2 = \frac {c} {a}$$
$$a + c = b \\ \Downarrow \\ x_1 = -1, \ x_2 = - \frac {c} {a}$$
এই সমীকরণগুলির মূলগুলি সাধারণ ক্যালকুলেটর দিয়েও পাওয়া যায়।
বিচ্ছেদক
বিচ্ছেদক বর্গীয় সমীকরণের মূল খুঁজে বের করতে ব্যবহৃত হয়। বিচ্ছেদক গণনার সূত্র:
$$D = b^2 - 4ac$$
বিচ্ছেদক ব্যবহার করে মূল গণনার সূত্র:
$$x_{1,2} = \frac {-b \pm \sqrt D} {2a}$$
যদি $D > 0$ হয়, তাহলে সমীকরণের দুটি ভিন্ন মূল থাকবে। উদাহরণস্বরূপ:
$$4x^2 - 6x + 2 = 0 \\ \Downarrow \\ a = 4, \ b = -6, \ c = 2 \\ \Downarrow \\ D = (-6)^2 - 4 × 4 × 2 = 4 \\ \Downarrow \\ x_{1,2} = \frac {-(-6) \pm \sqrt 4} {2 × 4} \\ \Downarrow \\ x_1 = \frac {6 + 2} {8} = 1, \ x_2 = \frac {6 - 2} {8} = 0.5$$
যদি $D = 0$ হয়, তাহলে সমীকরণের একটি মূল থাকবে (অথবা দুটি সমান মূল থাকবে)। উদাহরণস্বরূপ:
$$x^2 - 4x + 4 = 0 \\ \Downarrow \\ a = 1, \ b = -4, \ c = 4 \\ \Downarrow \\ D = (-4)^2 - 4 × 1 × 4 = 0 \\ \Downarrow \\ x_{1,2} = \frac {-(-4) \pm \sqrt 0} {2 × 1} \\ \Downarrow \\ x_1 = x_2 = x = \frac {4 \pm 0} {2} = 2$$
যদি $D < 0$ হয়, তাহলে বাস্তব সংখ্যার পরিসরে সমীকরণের কোনও মূল থাকবে না:
$$x^2 + 4x + 5 = 0 \\ \Downarrow \\ a = 1, \ b = 4, \ c = 5 \\ \Downarrow \\ D = 6^2 - 4 × 1 × 5 = -4 \\ \Downarrow \\ x_{1,2} = \frac {-4 \pm \sqrt {-4}} {2 × 1} \\ \Downarrow \\ x_1 = \frac {-4 + 2i} {2} = -2 + i, \\ x_2 = \frac {-4 - 2i} {2} = -2 - i$$
ভিয়েটার উপপাদ্য
ভিয়েটার উপপাদ্য একটি বৈশিষ্ট্যপূর্ণ বীজগাণিতিক সম্পর্ক (ভিয়েটার সূত্র) প্রতিষ্ঠা করে $x_1, x_2$ এবং তার গুণাঙ্কসমূহ $a, b, c$ এর মধ্যে এক্সক্রীড় সমীকরণের মূলসমূহের মধ্যে। এই সূত্রগুলি ব্যবহার করে, যদি গুণাঙ্কগুলি জানা থাকে তবে মূলগুলি খুঁজে পাওয়া যায় বা যদি মূলগুলি জানা থাকে তবে গুণাঙ্কগুলি গণনা করা যায়।
ভিয়েটার সূত্রসমূহ:
$$\begin {cases} x_1 + x_2 = - \dfrac {b} {a} \\ x_1 x_2 = \dfrac {c} {a} \end {cases}$$
বাইকোয়াড্রেটিক সমীকরণ
বাইকোয়াড্রেটিক সমীকরণ নির্নরূপ একটি সমীকরণ:
$$ax^4 + bx^2 + c = 0 \ \ \ (a \ne 0)$$
$x^2$ এর পরিবর্তে $y \ (y \ge 0)$ প্রতিস্থাপন করলে এটি একটি বর্গসমীকরণে পরিণত হবে, যার মূলগুলি $y_1, y_2$ খুঁজে পাওয়া যেতে পারে। বাইকোয়াড্রেটিক সমীকরণটির মূলগুলি নির্ণয় করা হয় এভাবে:
$$x_{1,2} = \pm \sqrt {y_1}, \ \ \ x_{3,4} = \pm \sqrt {y_2}$$
ঘনীয় সমীকরণ
ঘনীয় সমীকরণ নির্নরূপ একটি সমীকরণ:
$$ax^3 + bx^2 + cx + d = 0 \ \ \ (a \ne 0)$$
সমাধানের উদাহরণ:
$$x^3 - 6x^2 - 31x + 120 = 0 \\ \Downarrow \\ x_1 = -5, x_2 = 3, x_3 = 8$$
x x3 - 6 x x2 - 3 1 x
+ 1 2 0 x=y 0 =
যদি ঘনীয় সমীকরণটিকে $a$ দ্বারা ভাগ করা হয় এবং $x$ কে $y - \frac {b} {3a}$ দ্বারা প্রতিস্থাপন করা হয়, তাহলে এটি নিম্নরূপ একটি সরলতর আকার গ্রহণ করবে:
$$y^3 + py + q = 0,$$
যেখানে
$y = x + \frac {b} {3a}$,
$p = \frac {c} {a} - \frac {b^2} {3a^2} = \frac {3ac - b^2} {3a^2}$,
$q = \frac {2b^3} {27a^3} - \frac {bc} {3a^2} + \frac {d} {a} = \frac {2b^3 - 9abc + 27a^2d} {27a^3}$.
কার্দানোর সূত্র
যদি ঘনীয় সমীকরণটি নিম্নরূপ হয়:
$$y^3 + py + q = 0,$$
তাহলে এই সমীকরণটির মূলগুলি খুঁজে পাওয়ার জন্য কার্দানোর সূত্রটি প্রয়োগ করা যেতে পারে:
$$x = \sqrt[3] {- \frac {q} {2} + \sqrt {\frac {q^2} {4} + \frac {p^3} {27}}} + \\ + \ \sqrt[3] {- \frac {q} {2} - \sqrt {\frac {q^2} {4} + \frac {p^3} {27}}}$$