ইন্টিগ্রাল ক্যালকুলেটর

এই ক্যালকুলেটরটির সাহায্যে আপনি অনির্দিষ্ট বা নির্দিষ্ট ইন্টিগ্রাল গণনা করতে পারবেন। গণনার উদাহরণগুলি সংশ্লিষ্ট বিভাগে পাওয়া যাবে।

কিছু প্রাথমিক ইন্টিগ্রাল গণনা না করেই টেবিলে অন্তীমূল খুঁজে পাওয়া যায়।

অন্তীমূল

$f(x)$ ফাংশনের জন্য অন্তীমূল হল এমন একটি $F(x)$ ফাংশন যার অবকলন $f(x)$ এর সমান, অর্থাৎ $F^{\prime}(x) = f(x)$। অন্তীমূল খুঁজে পাওয়া হল অবকলন এর বিপরীত প্রক্রিয়া।

যদি $F(x)$ হয় $f(x)$ এর অন্তীমূল, তবে $F(x) + C$ ফাংশনটিও $f(x)$ এর অন্তীমূল হবে, যেখানে $C$ হল যেকোনো স্থিরাঙ্ক।

অনির্দিষ্ট ইন্টিগ্রাল

$f(x)$ ফাংশনের অনির্দিষ্ট ইন্টিগ্রাল হল এই ফাংশনের সমস্ত অন্তীমূলের সমষ্টি। এটি এভাবে চিহ্নিত করা হয়:

$$\int f(x) dx = F(x) + C,$$

যেখানে

$\int$ - ইন্টিগ্রাল চিহ্ন
$f(x)$ - অন্তঃক্ষেপ্য ফাংশন
$dx$ - ইন্টিগ্রেশনের উপাদান
$F(x)$ - অন্তীমূল
$C$ - ইন্টিগ্রেশন স্থিরাঙ্ক

ইন্টিগ্রাল খুঁজে পাওয়ার প্রক্রিয়াটিকে ইন্টিগ্রেশন বলা হয়।

গুণাবলী

অনির্দিষ্ট ইন্টিগ্রালের প্রাথমিক গুণাবলী:

$$\int a \cdot f(x) dx = \\ = a \cdot \int f(x) dx \ \ \ (a \ne 0)$$

$$\int (f(x) \pm g(x)) dx = \\ = \int f(x) dx \pm \int g(x) dx$$

গণনার উদাহরণ

নিচে অনির্দিষ্ট ইন্টিগ্রাল গণনার কিছু উদাহরণ রয়েছে। ইন্টিগ্রাল ক্যালকুলেটরে এই গণনাগুলি করতে, প্রতিটি উদাহরণের নীচে দেওয়া বোতামগুলি ক্রমিক ভাবে চাপতে হবে। মন্তব্য: আপনার কম্পিউটারের কীবোর্ড ব্যবহার করে ক্যালকুলেটরের স্ক্রিনের নীচের ফাঁকা ক্ষেত্রে int লিখুন।

$$\int x^3 dx = \frac {x^4} {4} + C$$

i n t ( x x^y 3 ) =

$$\int \sin 7x dx = - \frac {\cos 7x} {7} + C$$

i n t ( sin 7 x ) =

$$\int x^3 y dy = \frac {x^3 y^2} {2} + C$$

i n t ( x x^3 y , y ) =

ইন্টিগ্রালের টেবিল

প্রাথমিক অনির্দিষ্ট ইন্টিগ্রাল এবং তাদের অন্তীমূলের টেবিল:

$\int f(x) dx$	$F(x) + C$
$$\int 0 \cdot dx$$	$$C$$
$$\int dx$$	$$x + C$$
$$\int x^n dx$$	$$\frac {x^{n + 1}} {n + 1} + C \ \ \ (n \ne -1)$$
$$\int \frac {1} {x} dx$$	$$\ln \| x \| + C$$
$$\int e^x dx$$	$$e^x + C$$
$$\int a^x dx$$	$$\frac {a^x} {\ln a} + C \ \ \ (a > 0, a \ne 1)$$
$$\int \cos x dx$$	$$\sin x + C$$
$$\int \sin x dx$$	$$- \cos x + C$$
$$\int \frac {dx} {\cos^2 x}$$	$$\tg x + C$$
$$\int \frac {dx} {\sin^2 x}$$	$$- \ctg x + C$$
$$\int \frac {dx} {\sqrt {1 - x^2}}$$	$$\begin{gathered} \arcsin x + C_1 = \\ = - \arccos x + C_2 \\ (C_2 = \frac {\pi} {2} + C_1) \end{gathered}$$
$$\int \frac {dx} {1 + x^2}$$	$$\arctg x + C$$
$$\int \ch x dx$$	$$\sh x + C$$
$$\int \sh x dx$$	$$\ch x + C$$

নির্দিষ্ট ইন্টিগ্রাল

যদি $F(x)$ হয় $f(x)$ ফাংশনের অন্তীমূল, যা $[a;b]$ পরিসীমায় সংজ্ঞায়িত ও অবিচ্ছিন্ন হয়, তবে নির্দিষ্ট ইন্টিগ্রাল নিম্নরূপ সূত্র দিয়ে গণনা করা হয়:

$$\int _a^b f(x) dx = F(x) \mid _a^b = F(b) - F(a)$$

গুণাবলী

নির্দিষ্ট ইন্টিগ্রালের প্রাথমিক গুণাবলী:

$$\int _a^a f(x) dx = 0$$

$$\int _a^b f(x) dx = - \int _b^a f(x) dx$$

$$\int _a^b f(x) dx = \int _a^c f(x) dx + \\ + \int _c^b f(x) dx \ \ \ (c \in [a;b])$$

গণনার উদাহরণ

নিচে নির্দিষ্ট ইন্টিগ্রাল গণনার কিছু উদাহরণ রয়েছে। এই গণনাগুলি ক্যালকুলেটরে করতে, প্রতিটি উদাহরণের নীচে দেওয়া বোতামগুলি ক্রমিক ভাবে চাপতে হবে। মন্তব্য: আপনার কম্পিউটারের কীবোর্ড ব্যবহার করে ক্যালকুলেটরের স্ক্রিনের নীচের ফাঁকা ক্ষেত্রে int লিখুন।

$$\int _1^3 (5 + x) dx = 14$$

i n t ( 5 + x ,
x 2^nd var 1 . . 3 2^nd ) =

$$\int _5^8 x^2 dx = 129$$

i n t ( x x² ,
x 2^nd var 5 . . 8 2^nd ) =