ম্যাট্রিক্স ক্যালকুলেটর
এই ক্যালকুলেটরের সাহায্যে আপনি ম্যাট্রিক্স যোগ, বিয়োগ বা গুণ করতে পারবেন, এছাড়াও ম্যাট্রিক্সের ডেটারমাইনেন্ট গণনা করতে পারবেন। প্রয়োজনীয় গণনা সম্পাদন করতে, প্রতিটি বিভাগের অধীনে প্রদত্ত নির্দেশিকা অনুসরণ করে ক্রমানুসারে বাটনগুলি চাপুন।
ক্যালকুলেটর ব্যবহার না করেই আপনি সহজেই ম্যাট্রিক্স ট্রান্সপোজ করতে পারবেন, শুধু বিস্তারিত নির্দেশিকা অনুসরণ করুন।
গণিতে ম্যাট্রিক্স কী
ম্যাট্রিক্স হল যেকোনও উপাদানের (সংখ্যা, প্রতীক বা রাশি) একটি আয়তক্ষেত্রাকার সারণী, যাতে রয়েছে $m$ সারি এবং $n$ স্তম্ভ। প্রতিটি ম্যাট্রিক্স উপাদান একটি নির্দিষ্ট সারি এবং স্তম্ভের চৌপাড়ায় অবস্থিত থাকে।
ম্যাট্রিক্সকে সাধারণত একটি বড় অক্ষরের সাহায্যে প্রকাশ করা হয়, যেমন $A$। ম্যাট্রিক্সের পৃথক উপাদানগুলিকে সূচকগুলির সাহায্যে বোঝানো হয়, যেমন $a_{12}$ হল প্রথম সারি এবং দ্বিতীয় স্তম্ভে অবস্থিত উপাদান।
$$ A = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \dots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \dots & a_{mn} \end{bmatrix} $$
ম্যাট্রিক্সের আকার $m \times n$ দ্বারা প্রকাশ করা হয়। উদাহরণস্বরূপ, $3 \times 4$ আকারের একটি ম্যাট্রিক্সে থাকবে 3টি সারি এবং 4টি স্তম্ভ। একটি ম্যাট্রিক্সে উপাদানের সংখ্যা জানতে, $m$ এবং $n$ কে একটি সাধারণ ক্যালকুলেটরে গুণ করলেই হবে: $3 \cdot 4 = 12$।
ম্যাট্রিক্স যোগ এবং বিয়োগ
ম্যাট্রিক্স যোগ এবং বিয়োগ হল এমন অপারেশন যেখানে প্রতিটি ম্যাট্রিক্সের সংশ্লিষ্ট উপাদানগুলি যোগ বা বিয়োগ করা হয়। এক্ষেত্রে, ম্যাট্রিক্সগুলির একই আকার থাকা প্রয়োজন, অর্থাৎ তাদের সমান সংখ্যক সারি এবং স্তম্ভ থাকতে হবে।
ম্যাট্রিক্স যোগের উদাহরণঃ
$$ \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \end{bmatrix} \ + \ \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 3 & 2 & 1 \end{bmatrix} \ = \ $$
$$ \ = \ \begin{bmatrix} 1+1 & 2+2 & 3+3 \\ 4+3 & 5+2 & 6+1 \end{bmatrix} \ = \ $$
$$ \ = \ \begin{bmatrix} 2 & 4 & 6 \\ 7 & 7 & 7 \end{bmatrix} $$
2nd [ [ 1 , 2 , 3 ]
[ 4 , 5 , 6 ] ]
+ [ [ 1 , 2 , 3 ]
[ 3 , 2 , 1 ] ] =
ম্যাট্রিক্স বিয়োগের উদাহরণঃ
$$ \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \end{bmatrix} \ - \ \begin{bmatrix} 3 & 2 & 1 \\ 1 & 2 & 3 \end{bmatrix} \ = \ $$
$$\ = \ \begin{bmatrix} 1-3 & 2-2 & 3-1 \\ 4-1 & 5-2 & 6-3 \end{bmatrix} \ = \ $$
$$\ = \ \begin{bmatrix} -2 & 0 & 2 \\ 3 & 3 & 3 \end{bmatrix} $$
2nd [ [ 1 , 2 , 3 ]
[ 4 , 5 , 6 ] ]
- [ [ 3 , 2 , 1 ]
[ 1 , 2 , 3 ] ] =
ম্যাট্রিক্স গুণ
দুটি ম্যাট্রিক্স গুণ হল একটি নতুন ম্যাট্রিক্স গণনা করা, যাকে ম্যাট্রিক্স গুণফল বলা হয়। এই ম্যাট্রিক্সের প্রতিটি উপাদান হল প্রথম ম্যাট্রিক্সের সংশ্লিষ্ট সারির উপাদানগুলি এবং দ্বিতীয় ম্যাট্রিক্সের সংশ্লিষ্ট স্তম্ভের উপাদানগুলির গুণফলের যোগফল। ম্যাট্রিক্স গুণ করতে, প্রথম ম্যাট্রিক্সের স্তম্ভের সংখ্যা দ্বিতীয় ম্যাট্রিক্সের সারির সংখ্যার সমান হওয়া প্রয়োজন।
ম্যাট্রিক্স গুণের উদাহরণঃ
$$ \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \end{bmatrix} \ \cdot \ \begin{bmatrix} 7 & 8 \\ 9 & 10 \\ 11 & 12 \end{bmatrix} \ = \ $$
$$ \ = \ \begin{bmatrix} 1 \cdot 7 + 2 \cdot 9 + 3 \cdot 11 & 1 \cdot 8 + 2 \cdot 10 + 3 \cdot 12 \\ 4 \cdot 7 + 5 \cdot 9 + 6 \cdot 11 & 4 \cdot 8 + 5 \cdot 10 + 6 \cdot 12 \end{bmatrix} \ = \ $$
$$\ = \ \begin{bmatrix} 58 & 64 \\ 139 & 154 \end{bmatrix} $$
2nd [ [ 1 , 2 , 3 ]
[ 4 , 5 , 6 ] ]
2nd × 2nd [ [ 7 , 8 ]
[ 9 , 1 0 ]
[ 1 1 , 1 2 ] ] =
ম্যাট্রিক্সের ডেটারমাইনেন্ট
একটি ম্যাট্রিক্সের ডিটারমিনেন্ট ($det(A)$ বা $|A|$) একটি পরিমাণ যা বৈশিষ্ট্য ব্যাখ্যা করে একটি বর্গাকার ম্যাট্রিক্স।
ডিটারমিনেন্ট গণনার উদাহরণ (det ক্যালকুলেটর স্ক্রিনের নীচের ফাঁকা ক্ষেত্রে আপনার কম্পিউটারের কীবোর্ড ব্যবহার করে লিখতে হবে):
$$ |A| = \begin{vmatrix} 1 & -2 & 3 \\ 4 & 0 & 6 \\ -7 & 8 & 9 \end{vmatrix} = 204 $$
d e t ( 2nd [
[ 1 , - 2 , 3 ]
[ 4 , 0 , 6 ]
[ - 7 , 8 , 9 ]
] 2nd ) =
ম্যাট্রিক্স ট্রান্সপোজিশন
ট্রান্সপোজিশন একটি অপারেশন যেখানে মূল ম্যাট্রিক্সের সারি এবং স্তম্ভগুলি পরস্পর বিনিময় করে, অর্থাৎ সারিগুলি স্তম্ভ হয় এবং স্তম্ভগুলি সারি হয়। যদি $A$ হয় মূল ম্যাট্রিক্স, তবে ট্রান্সপোজকৃত ম্যাট্রিক্সটি $A^T$ হিসাবে চিহ্নিত করা হয়। যদি মূল ম্যাট্রিক্স $A$ এর আকার $m \times n$ হয়, তবে ট্রান্সপোজকৃত ম্যাট্রিক্স $A^T$ এর আকার $n \times m$ হবে।
$$ A = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \dots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \dots & a_{mn} \end{bmatrix} $$
ট্রান্সপোজকৃত ম্যাট্রিক্স $A^T$ পেতে, মূল ম্যাট্রিক্স $A$-এর সারি এবং স্তম্ভগুলি পরস্পর বিনিময় করতে হবে। এজন্য নিম্নলিখিত ধাপগুলি অনুসরণ করতে হবে।
মূল ম্যাট্রিক্স $A$-এর প্রথম সারির উপাদানগুলি $a_{11}$ থেকে $a_{1n}$ নিয়ে ট্রান্সপোজকৃত ম্যাট্রিক্স $A^T$-এর প্রথম স্তম্ভ হিসাবে লিখুন:
$$ A^T = \begin{bmatrix} a_{11} \\ a_{12} \\ \vdots \\ a_{1n} \end{bmatrix} $$
মূল ম্যাট্রিক্স $A$-এর দ্বিতীয় সারির উপাদানগুলি $a_{21}$ থেকে $a_{2n}$ নিয়ে $A^T$-এর দ্বিতীয় স্তম্ভ হিসাবে লিখুন:
$$ A^T = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{21} \\ a_{12} & a_{22} \\ \vdots & \vdots \\ a_{1n} & a_{2n} \end{bmatrix} $$
এই ধাপটি মূল ম্যাট্রিক্স $A$-এর সমস্ত সারির জন্য পুনরাবৃত্তি করুন, যতক্ষণ না তারা $A^T$-এর স্তম্ভ হিসাবে লিখিত হয়:
$$ A^T = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{21} & \dots & a_{m1} \\ a_{12} & a_{22} & \dots & a_{m2} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{1n} & a_{2n} & \dots & a_{mn} \end{bmatrix} $$
এভাবে, ট্রান্সপোজকৃত ম্যাট্রিক্স $A^T$-এর উপাদানগুলি $a^T_{ij}$ মূল ম্যাট্রিক্স $A$-এর উপাদানগুলির $a_{ji}$ সঙ্গে সম্পর্কিত।
ম্যাট্রিক্স ট্রান্সপোজিশনের উদাহরণ:
$$ A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \\ 5 & 6 \end{bmatrix} \ \ A^T = \begin{bmatrix} 1 & 3 & 5 \\ 2 & 4 & 6 \end{bmatrix} $$