Kalkulačka rovnic
S touto kalkulačkou můžete online vyřešit lineární, kvadratickou nebo kubickou rovnici. Příklady výpočtů naleznete v příslušné sekci.
Řešení rovnic
Rovnice je rovnost s proměnnou (nebo neznámou). Rovnice s jednou proměnnou $x$ se obecně zapisuje takto: $f(x) = g(x)$.
Řešením (nebo kořenem) rovnice je taková hodnota proměnné, při které se rovnice promění ve správnou číselnou rovnost. Vyřešit rovnici znamená najít všechna její řešení nebo dokázat, že žádná nemá.
Jak vyřešit rovnici na kalkulačce: Nejdříve zadejte část rovnice před znakem =, stiskněte tlačítko x=y, zadejte zbývající část rovnice, stiskněte tlačítko = pro provedení výpočtu. Například pro rovnici $2x - 4 = 0$ je kořenem $x = 2$. Takto byl tento výsledek získán pomocí kalkulačky rovnic:
$$2x - 4 = 0 \\ \Downarrow \\ x = 2$$
2 x - 4 x=y 0 =
Lineární rovnice
Lineární rovnice s jednou neznámou je rovnice následujícího tvaru:
$$ax + b = 0,$$
kde
- $x$ je neznámá,
- $a$ je koeficient neznámé,
- $b$ je absolutní člen rovnice.
Lineární rovnice jsou nejjednodušším druhem algebraických rovnic, jejichž řešení se omezuje na provádění jednoduchých aritmetických operací.
Příklady řešení:
$$4x - 16 = 0 \\ \Downarrow \\ x = 4$$
4 x - 1 6 x=y 0 =
$$3x + 2 = 6 - x \\ \Downarrow \\ x = 1$$
3 x + 2 x=y 6 - x =
Kvadratické rovnice
Kvadratická rovnice je rovnice následujícího tvaru:
$$ax^2 + bx + c = 0 \ \ \ (a \ne 0)$$
Řešení kvadratických rovnic na kalkulačce:
$$4x^2 - 6x + 2 = 0 \\ \Downarrow \\ x_1 = 1, \ x_2 = 0.5$$
4 x x2 - 6 x
+ 2 x=y 0 =
$$x^2 - 3x - 4 = 0 \\ \Downarrow \\ x_1 = 4, \ x_2 = -1$$
x x2 - 3 x - 4 x=y 0 =
$$x^2 - 4x + 4 = 0 \\ \Downarrow \\ x_1 = x_2 = x = 2$$
x x2 - 4 x + 4 x=y 0 =
Poměry koeficientů
Existují takové kvadratické rovnice, jejichž koeficienty jsou v poměrech umožňujících řešit tyto rovnice mnohem jednodušeji.
$$a + b + c = 0 \\ \Downarrow \\ x_1 = 1, \ x_2 = \frac {c} {a}$$
$$a + c = b \\ \Downarrow \\ x_1 = -1, \ x_2 = - \frac {c} {a}$$
Kořeny těchto rovnic lze nalézt také pomocí obyčejné kalkulačky.
Diskriminant
Diskriminant se používá k nalezení kořenů kvadratické rovnice. Vzorec pro výpočet diskriminantu:
$$D = b^2 - 4ac$$
Vzorec pro výpočet kořenů s použitím diskriminantu:
$$x_{1,2} = \frac {-b \pm \sqrt D} {2a}$$
Pokud $D > 0$, pak rovnice má dva různé kořeny. Například:
$$4x^2 - 6x + 2 = 0 \\ \Downarrow \\ a = 4, \ b = -6, \ c = 2 \\ \Downarrow \\ D = (-6)^2 - 4 × 4 × 2 = 4 \\ \Downarrow \\ x_{1,2} = \frac {-(-6) \pm \sqrt 4} {2 × 4} \\ \Downarrow \\ x_1 = \frac {6 + 2} {8} = 1, \ x_2 = \frac {6 - 2} {8} = 0.5$$
Pokud $D = 0$, pak rovnice má jeden kořen (nebo dva stejné kořeny). Například:
$$x^2 - 4x + 4 = 0 \\ \Downarrow \\ a = 1, \ b = -4, \ c = 4 \\ \Downarrow \\ D = (-4)^2 - 4 × 1 × 4 = 0 \\ \Downarrow \\ x_{1,2} = \frac {-(-4) \pm \sqrt 0} {2 × 1} \\ \Downarrow \\ x_1 = x_2 = x = \frac {4 \pm 0} {2} = 2$$
Pokud $D < 0$, pak rovnice nemá kořeny v množině reálných čísel:
$$x^2 + 4x + 5 = 0 \\ \Downarrow \\ a = 1, \ b = 4, \ c = 5 \\ \Downarrow \\ D = 6^2 - 4 × 1 × 5 = -4 \\ \Downarrow \\ x_{1,2} = \frac {-4 \pm \sqrt {-4}} {2 × 1} \\ \Downarrow \\ x_1 = \frac {-4 + 2i} {2} = -2 + i, \\ x_2 = \frac {-4 - 2i} {2} = -2 - i$$
Viètova věta
Viètova věta stanovuje jednoduchá algebraická vztahy (Viètovy vzorce) mezi kořeny $x_1, x_2$ kvadratické rovnice a jejími koeficienty $a, b, c$. Používáním těchto vzorců lze nalézt kořeny, jsou-li známy koeficienty, nebo vypočítat koeficienty, jsou-li známy kořeny.
Viètovy vzorce:
$$\begin {cases} x_1 + x_2 = - \dfrac {b} {a} \\ x_1 x_2 = \dfrac {c} {a} \end {cases}$$
Bikvadratické rovnice
Bikvadratická rovnice je rovnice následujícího tvaru:
$$ax^4 + bx^2 + c = 0 \ \ \ (a \ne 0)$$
Pokud provedeme substituci $x^2$ za $y \ (y \ge 0)$, získáme kvadratickou rovnici, pro kterou lze najít kořeny $y_1, y_2$. Kořeny bikvadratické rovnice se pak naleznou takto:
$$x_{1,2} = \pm \sqrt {y_1}, \ \ \ x_{3,4} = \pm \sqrt {y_2}$$
Kubické rovnice
Kubickou rovnicí se nazývá rovnice následujícího tvaru:
$$ax^3 + bx^2 + cx + d = 0 \ \ \ (a \ne 0)$$
Příklad řešení:
$$x^3 - 6x^2 - 31x + 120 = 0 \\ \Downarrow \\ x_1 = -5, x_2 = 3, x_3 = 8$$
x x3 - 6 x x2 - 3 1 x
+ 1 2 0 x=y 0 =
Pokud kubickou rovnici vydělíme $a$ a nahradíme $x$ za $y - \frac {b} {3a}$, nabude následujícího jednodušší tvaru:
$$y^3 + py + q = 0,$$
kde
$y = x + \frac {b} {3a}$,
$p = \frac {c} {a} - \frac {b^2} {3a^2} = \frac {3ac - b^2} {3a^2}$,
$q = \frac {2b^3} {27a^3} - \frac {bc} {3a^2} + \frac {d} {a} = \frac {2b^3 - 9abc + 27a^2d} {27a^3}$.
Cardanův vzorec
Pokud má kubická rovnice následující tvar:
$$y^3 + py + q = 0,$$
lze k nalezení kořenů této rovnice použít Cardanův vzorec:
$$x = \sqrt[3] {- \frac {q} {2} + \sqrt {\frac {q^2} {4} + \frac {p^3} {27}}} + \\ + \ \sqrt[3] {- \frac {q} {2} - \sqrt {\frac {q^2} {4} + \frac {p^3} {27}}}$$