Kalkulačka integrálů

S touto kalkulačkou můžete počítat neurčité nebo určité integrály. Příklady výpočtů naleznete v příslušné sekci.

Některé základní integrály nemusíte počítat, ale můžete najít primitivní funkci přímo v tabulce.

Primitivní funkce

Primitivní funkcí pro funkci $f(x)$ je taková funkce $F(x)$, jejíž derivací je $f(x)$, to znamená $F^{\prime}(x) = f(x)$. Nalezení primitivní funkce je operací inverzní k derivaci.

Pokud $F(x)$ je primitivní funkcí pro $f(x)$, pak funkce $F(x) + C$, kde $C$ je libovolná konstanta, je také primitivní funkcí pro $f(x)$.

Neurčitý integrál

Neurčitý integrál funkce $f(x)$ je množina všech primitivních funkcí této funkce. Zapisuje se takto:

$$\int f(x) dx = F(x) + C,$$

kde

$\int$ – značka integrálu
$f(x)$ – integrovaná funkce
$dx$ – element integrace
$F(x)$ – primitivní funkce
$C$ – integračí konstanta

Operace nalezení integrálu se nazývá integrování.

Vlastnosti

Základní vlastnosti neurčitého integrálu:

$$\int a \cdot f(x) dx = \\ = a \cdot \int f(x) dx \ \ \ (a \ne 0)$$

$$\int (f(x) \pm g(x)) dx = \\ = \int f(x) dx \pm \int g(x) dx$$

Příklady výpočtů

Níže jsou uvedeny příklady výpočtů neurčitých integrálů. Chcete-li tyto výpočty provést na kalkulačce integrálů, musíte postupně stisknout tlačítka uvedená pod každým příkladem. Poznámka: zadejte int do prázdného pole pod displejem kalkulačky pomocí klávesnice vašeho počítače.

$$\int x^3 dx = \frac {x^4} {4} + C$$

i n t ( x x^y 3 ) =

$$\int \sin 7x dx = - \frac {\cos 7x} {7} + C$$

i n t ( sin 7 x ) =

$$\int x^3 y dy = \frac {x^3 y^2} {2} + C$$

i n t ( x x^3 y , y ) =

Tabulka integrálů

Tabulka základních neurčitých integrálů a odpovídajících primitivních funkcí:

$\int f(x) dx$	$F(x) + C$
$$\int 0 \cdot dx$$	$$C$$
$$\int dx$$	$$x + C$$
$$\int x^n dx$$	$$\frac {x^{n + 1}} {n + 1} + C \ \ \ (n \ne -1)$$
$$\int \frac {1} {x} dx$$	$$\ln \| x \| + C$$
$$\int e^x dx$$	$$e^x + C$$
$$\int a^x dx$$	$$\frac {a^x} {\ln a} + C \ \ \ (a > 0, a \ne 1)$$
$$\int \cos x dx$$	$$\sin x + C$$
$$\int \sin x dx$$	$$- \cos x + C$$
$$\int \frac {dx} {\cos^2 x}$$	$$\tg x + C$$
$$\int \frac {dx} {\sin^2 x}$$	$$- \ctg x + C$$
$$\int \frac {dx} {\sqrt {1 - x^2}}$$	$$\begin{gathered} \arcsin x + C_1 = \\ = - \arccos x + C_2 \\ (C_2 = \frac {\pi} {2} + C_1) \end{gathered}$$
$$\int \frac {dx} {1 + x^2}$$	$$\arctg x + C$$
$$\int \ch x dx$$	$$\sh x + C$$
$$\int \sh x dx$$	$$\ch x + C$$

Určitý integrál

Jestliže $F(x)$ je primitivní funkcí pro funkci $f(x)$, která je definována a spojitá na intervalu $[a;b]$, pak určitý integrál se počítá podle vzorce:

$$\int _a^b f(x) dx = F(x) \mid _a^b = F(b) - F(a)$$

Vlastnosti

Základní vlastnosti určitého integrálu:

$$\int _a^a f(x) dx = 0$$

$$\int _a^b f(x) dx = - \int _b^a f(x) dx$$

$$\int _a^b f(x) dx = \int _a^c f(x) dx + \\ + \int _c^b f(x) dx \ \ \ (c \in [a;b])$$

Příklady výpočtů

Níže jsou uvedeny příklady výpočtů určitých integrálů. Chcete-li tyto výpočty provést na kalkulačce, musíte postupně stisknout tlačítka uvedená pod každým příkladem. Poznámka: zadejte int do prázdného pole pod displejem kalkulačky pomocí klávesnice vašeho počítače.

$$\int _1^3 (5 + x) dx = 14$$

i n t ( 5 + x ,
x 2^nd var 1 . . 3 2^nd ) =

$$\int _5^8 x^2 dx = 129$$

i n t ( x x² ,
x 2^nd var 5 . . 8 2^nd ) =