Kalkulačka matic
Pomocí této kalkulačky můžete provádět sčítání, odčítání nebo násobení matic a také vypočítat determinant matice. Abyste mohli provést požadované výpočty, postupně klikejte na tlačítka uvedená v příkladu v příslušné sekci.
Transpozici matice můžete snadno provést i bez kalkulačky, stačí postupovat podle podrobného návodu.
Co je to matice v matematice
Matice je obdélníková tabulka libovolných prvků (čísel, symbolů nebo výrazů) sestávající z $m$ řádků a $n$ sloupců. Každý prvek matice je umístěn na průsečíku určitého řádku a sloupce.
Matice se obvykle označuje velkým písmenem, například $A$. Jednotlivé prvky matice se označují pomocí indexů, například $a_{12}$ je prvek umístěný v prvním řádku a druhém sloupci.
$$ A = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \dots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \dots & a_{mn} \end{bmatrix} $$
Velikost matice se označuje jako $m \times n$. Například matice velikosti $3 \times 4$ bude mít 3 řádky a 4 sloupce. Počet prvků v matici lze zjistit vynásobením $m$ a $n$ na běžné kalkulačce: $3 \cdot 4 = 12$.
Sčítání a odčítání matic
Sčítání a odčítání matic jsou operace, při kterých se sčítají nebo odčítají odpovídající prvky matic. Přitom je nutné, aby matice měly stejnou velikost, tj. aby měly stejný počet řádků a sloupců.
Příklad sčítání matic:
$$ \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \end{bmatrix} \ + \ \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 3 & 2 & 1 \end{bmatrix} \ = \ $$
$$ \ = \ \begin{bmatrix} 1+1 & 2+2 & 3+3 \\ 4+3 & 5+2 & 6+1 \end{bmatrix} \ = \ $$
$$ \ = \ \begin{bmatrix} 2 & 4 & 6 \\ 7 & 7 & 7 \end{bmatrix} $$
2nd [ [ 1 , 2 , 3 ]
[ 4 , 5 , 6 ] ]
+ [ [ 1 , 2 , 3 ]
[ 3 , 2 , 1 ] ] =
Příklad odčítání matic:
$$ \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \end{bmatrix} \ - \ \begin{bmatrix} 3 & 2 & 1 \\ 1 & 2 & 3 \end{bmatrix} \ = \ $$
$$\ = \ \begin{bmatrix} 1-3 & 2-2 & 3-1 \\ 4-1 & 5-2 & 6-3 \end{bmatrix} \ = \ $$
$$\ = \ \begin{bmatrix} -2 & 0 & 2 \\ 3 & 3 & 3 \end{bmatrix} $$
2nd [ [ 1 , 2 , 3 ]
[ 4 , 5 , 6 ] ]
- [ [ 3 , 2 , 1 ]
[ 1 , 2 , 3 ] ] =
Násobení matic
Násobení dvou matic je operace výpočtu nové matice, která se nazývá součin matic. Každý prvek této matice je roven součtu součinů odpovídajících prvků v příslušném řádku první matice a sloupci druhé matice. Pro násobení matic je nutné, aby počet sloupců v první matici byl roven počtu řádků v druhé matici.
Příklad násobení matic:
$$ \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \end{bmatrix} \ \cdot \ \begin{bmatrix} 7 & 8 \\ 9 & 10 \\ 11 & 12 \end{bmatrix} \ = \ $$
$$ \ = \ \begin{bmatrix} 1 \cdot 7 + 2 \cdot 9 + 3 \cdot 11 & 1 \cdot 8 + 2 \cdot 10 + 3 \cdot 12 \\ 4 \cdot 7 + 5 \cdot 9 + 6 \cdot 11 & 4 \cdot 8 + 5 \cdot 10 + 6 \cdot 12 \end{bmatrix} \ = \ $$
$$\ = \ \begin{bmatrix} 58 & 64 \\ 139 & 154 \end{bmatrix} $$
2nd [ [ 1 , 2 , 3 ]
[ 4 , 5 , 6 ] ]
2nd × 2nd [ [ 7 , 8 ]
[ 9 , 1 0 ]
[ 1 1 , 1 2 ] ] =
Determinant matice
Determinant matice ($det(A)$ nebo $|A|$) je hodnota, která charakterizuje vlastnosti čtvercové matice.
Příklad výpočtu determinantu (det je třeba zadat do prázdného pole pod displejem kalkulačky pomocí klávesnice vašeho počítače):
$$ |A| = \begin{vmatrix} 1 & -2 & 3 \\ 4 & 0 & 6 \\ -7 & 8 & 9 \end{vmatrix} = 204 $$
d e t ( 2nd [
[ 1 , - 2 , 3 ]
[ 4 , 0 , 6 ]
[ - 7 , 8 , 9 ]
] 2nd ) =
Transpozice matice
Transpozice je operace, při které se řádky a sloupce původní matice vymění, tedy řádky se stanou sloupci a sloupce řádky. Pokud $A$ je původní matice, transpozice matice se označuje jako $A^T$. Pokud má původní matice $A$ velikost $m \times n$, bude mít transpozice matice $A^T$ velikost $n \times m$.
$$ A = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \dots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \dots & a_{mn} \end{bmatrix} $$
Abyste získali transponovanou matici $A^T$, musíte vyměnit řádky a sloupce původní matice $A$. Proto je třeba provést následující kroky.
Vezměte prvky prvního řádku od $a_{11}$ do $a_{1n}$ a zapište je jako první sloupec transponované matice $A^T$:
$$ A^T = \begin{bmatrix} a_{11} \\ a_{12} \\ \vdots \\ a_{1n} \end{bmatrix} $$
Vezměte prvky druhého řádku od $a_{21}$ do $a_{2n}$ a zapište je jako druhý sloupec $A^T$:
$$ A^T = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{21} \\ a_{12} & a_{22} \\ \vdots & \vdots \\ a_{1n} & a_{2n} \end{bmatrix} $$
Tento krok opakujte pro všechny řádky matice $A$, dokud nebudou zapsány jako sloupce $A^T$:
$$ A^T = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{21} & \dots & a_{m1} \\ a_{12} & a_{22} & \dots & a_{m2} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{1n} & a_{2n} & \dots & a_{mn} \end{bmatrix} $$
Takto budou prvky $a^T_{ij}$ transponované matice $A^T$ odpovídat prvkům $a_{ji}$ původní matice $A$.
Příklad transpozice matice:
$$ A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \\ 5 & 6 \end{bmatrix} \ \ A^T = \begin{bmatrix} 1 & 3 & 5 \\ 2 & 4 & 6 \end{bmatrix} $$