Ligning-regnemaskine
Med denne regnemaskine kan du løse lineære, kvadratiske eller kubiske ligninger online. Eksempler på beregninger kan findes i det relevante afsnit.
Løsning af ligninger
En ligning er en lighed med en variabel (eller ubekendt). En ligning med en variabel $x$ skrives normalt på følgende måde: $f(x) = g(x)$.
En løsning (eller rod) af en ligning er den værdi af variablen, der gør ligningen til en sand numerisk lighed. At løse en ligning betyder at finde alle dens løsninger eller bevise, at der ingen er.
Sådan løser du en ligning på regnemaskinen: Indtast først den del af ligningen før =-tegnet, tryk på knappen x=y, indtast den resterende del af ligningen, tryk på knappen = for at udføre beregningen. For eksempel for ligningen $2x - 4 = 0$ er roden $x = 2$. Dette er hvordan dette resultat blev opnået ved hjælp af ligningsregnemaskinen:
$$2x - 4 = 0 \\ \Downarrow \\ x = 2$$
2 x - 4 x=y 0 =
Lineære ligninger
En lineær ligning med en ubekendt er en ligning af følgende form:
$$ax + b = 0,$$
hvor
- $x$ - den ubekendte,
- $a$ - koefficienten foran den ubekendte,
- $b$ - ligningens konstante led.
Lineære ligninger er den simpleste form for algebraiske ligninger, hvis løsning kan reduceres til at udføre simple aritmetiske operationer.
Løsningseksempler:
$$4x - 16 = 0 \\ \Downarrow \\ x = 4$$
4 x - 1 6 x=y 0 =
$$3x + 2 = 6 - x \\ \Downarrow \\ x = 1$$
3 x + 2 x=y 6 - x =
Kvadratiske ligninger
En kvadratisk ligning er en ligning af følgende form:
$$ax^2 + bx + c = 0 \ \ \ (a \ne 0)$$
Løsning af kvadratiske ligninger på regnemaskinen:
$$4x^2 - 6x + 2 = 0 \\ \Downarrow \\ x_1 = 1, \ x_2 = 0.5$$
4 x x2 - 6 x
+ 2 x=y 0 =
$$x^2 - 3x - 4 = 0 \\ \Downarrow \\ x_1 = 4, \ x_2 = -1$$
x x2 - 3 x - 4 x=y 0 =
$$x^2 - 4x + 4 = 0 \\ \Downarrow \\ x_1 = x_2 = x = 2$$
x x2 - 4 x + 4 x=y 0 =
Koefficient-forhold
Der findes kvadratiske ligninger, hvor koefficienterne er i bestemte forhold, hvilket gør det meget nemmere at løse disse ligninger.
$$a + b + c = 0 \\ \Downarrow \\ x_1 = 1, \ x_2 = \frac {c} {a}$$
$$a + c = b \\ \Downarrow \\ x_1 = -1, \ x_2 = - \frac {c} {a}$$
Rødderne i sådanne ligninger kan også findes ved hjælp af en almindelig regnemaskine.
Diskriminant
Diskriminanten bruges til at finde rødderne i en kvadratisk ligning. Formlen for beregning af diskriminanten er:
$$D = b^2 - 4ac$$
Formlen for at finde rødderne ved hjælp af diskriminanten:
$$x_{1,2} = \frac {-b \pm \sqrt D} {2a}$$
Hvis $D > 0$, har ligningen to forskellige rødder. For eksempel:
$$4x^2 - 6x + 2 = 0 \\ \Downarrow \\ a = 4, \ b = -6, \ c = 2 \\ \Downarrow \\ D = (-6)^2 - 4 × 4 × 2 = 4 \\ \Downarrow \\ x_{1,2} = \frac {-(-6) \pm \sqrt 4} {2 × 4} \\ \Downarrow \\ x_1 = \frac {6 + 2} {8} = 1, \ x_2 = \frac {6 - 2} {8} = 0.5$$
Hvis $D = 0$, har ligningen en rod (eller to ens rødder). For eksempel:
$$x^2 - 4x + 4 = 0 \\ \Downarrow \\ a = 1, \ b = -4, \ c = 4 \\ \Downarrow \\ D = (-4)^2 - 4 × 1 × 4 = 0 \\ \Downarrow \\ x_{1,2} = \frac {-(-4) \pm \sqrt 0} {2 × 1} \\ \Downarrow \\ x_1 = x_2 = x = \frac {4 \pm 0} {2} = 2$$
Hvis $D < 0$, har ligningen ingen rødder i de reelle tal:
$$x^2 + 4x + 5 = 0 \\ \Downarrow \\ a = 1, \ b = 4, \ c = 5 \\ \Downarrow \\ D = 6^2 - 4 × 1 × 5 = -4 \\ \Downarrow \\ x_{1,2} = \frac {-4 \pm \sqrt {-4}} {2 × 1} \\ \Downarrow \\ x_1 = \frac {-4 + 2i} {2} = -2 + i, \\ x_2 = \frac {-4 - 2i} {2} = -2 - i$$
Viète’s formel
Viète’s sætning opstiller simple algebraiske relationer (Viète’s formler) mellem rødderne $x_1, x_2$ i en kvadratisk ligning og dens koefficienter $a, b, c$. Ved at bruge disse formler kan man finde rødderne, hvis koefficienterne er kendte, eller beregne koefficienterne, hvis rødderne er kendte.
Viète’s formler:
$$\begin {cases} x_1 + x_2 = - \dfrac {b} {a} \\ x_1 x_2 = \dfrac {c} {a} \end {cases}$$
Bikvadratiske ligninger
En bikvadratisk ligning er en ligning af følgende form:
$$ax^4 + bx^2 + c = 0 \ \ \ (a \ne 0)$$
Ved at udføre substitutionen $x^2$ til $y \ (y \ge 0)$ får vi en kvadratisk ligning, hvis rødder $y_1, y_2$ kan bestemmes. Rødderne i den bikvadratiske ligning findes så:
$$x_{1,2} = \pm \sqrt {y_1}, \ \ \ x_{3,4} = \pm \sqrt {y_2}$$
Kubiske ligninger
En kubisk ligning er en ligning af følgende form:
$$ax^3 + bx^2 + cx + d = 0 \ \ \ (a \ne 0)$$
Eksempel på løsning:
$$x^3 - 6x^2 - 31x + 120 = 0 \\ \Downarrow \\ x_1 = -5, x_2 = 3, x_3 = 8$$
x x3 - 6 x x2 - 3 1 x
+ 1 2 0 x=y 0 =
Hvis vi dividerer den kubiske ligning med $a$ og substituerer $x$ med $y - \frac {b} {3a}$, får vi følgende simplere form:
$$y^3 + py + q = 0,$$
hvor
$y = x + \frac {b} {3a}$,
$p = \frac {c} {a} - \frac {b^2} {3a^2} = \frac {3ac - b^2} {3a^2}$,
$q = \frac {2b^3} {27a^3} - \frac {bc} {3a^2} + \frac {d} {a} = \frac {2b^3 - 9abc + 27a^2d} {27a^3}$.
Cardano’s formel
Hvis den kubiske ligning har følgende form:
$$y^3 + py + q = 0,$$
så kan rødderne findes ved hjælp af Cardano’s formel:
$$x = \sqrt[3] {- \frac {q} {2} + \sqrt {\frac {q^2} {4} + \frac {p^3} {27}}} + \\ + \ \sqrt[3] {- \frac {q} {2} - \sqrt {\frac {q^2} {4} + \frac {p^3} {27}}}$$