Integral-calculator

Med denne calculator kan du beregne den ubestemte eller bestemte integral. Beregningseksempler kan findes i det relevante afsnit.

Nogle grundlæggende integraler behøver ikke blive beregnet, men kan findes direkte i tabellen over stamfunktioner.

Stamfunktion

En stamfunktion til funktionen $f(x)$ er en sådan funktion $F(x)$, hvis afledede er lig med $f(x)$, dvs. $F^{\prime}(x) = f(x)$. At finde en stamfunktion er den modsatte operation af differentiering.

Hvis $F(x)$ er en stamfunktion til $f(x)$, så er funktionen $F(x) + C$, hvor $C$ er en vilkårlig konstant, også en stamfunktion til $f(x)$.

Ubestemt integral

Den ubestemte integral af en funktion $f(x)$ er mængden af alle stamfunktioner til denne funktion. Dette angives således:

$$\int f(x) dx = F(x) + C,$$

hvor

$\int$ - integraltegnet
$f(x)$ - den integrerbare funktion
$dx$ - integrationsenheden
$F(x)$ - stamfunktionen
$C$ - integrationskonstanten

Operationen, hvor integralen bestemmes, kaldes integration.

Egenskaber

De vigtigste egenskaber ved den ubestemte integral:

$$\int a \cdot f(x) dx = \\ = a \cdot \int f(x) dx \ \ \ (a \ne 0)$$

$$\int (f(x) \pm g(x)) dx = \\ = \int f(x) dx \pm \int g(x) dx$$

Beregningseksempler

Nedenfor er der eksempler på beregning af ubestemte integraler. For at udføre disse beregninger på integral-calculatoren skal du trykke på knapperne i den rækkefølge, der er angivet under hvert eksempel. Bemærkning: Indtast int i det tomme felt under calculator-skærmen ved hjælp af din computers tastatur.

$$\int x^3 dx = \frac {x^4} {4} + C$$

i n t ( x x^y 3 ) =

$$\int \sin 7x dx = - \frac {\cos 7x} {7} + C$$

i n t ( sin 7 x ) =

$$\int x^3 y dy = \frac {x^3 y^2} {2} + C$$

i n t ( x x^3 y , y ) =

Integral-tabel

Tabel over grundlæggende ubestemte integraler og deres tilsvarende stamfunktioner:

$\int f(x) dx$	$F(x) + C$
$$\int 0 \cdot dx$$	$$C$$
$$\int dx$$	$$x + C$$
$$\int x^n dx$$	$$\frac {x^{n + 1}} {n + 1} + C \ \ \ (n \ne -1)$$
$$\int \frac {1} {x} dx$$	$$\ln \| x \| + C$$
$$\int e^x dx$$	$$e^x + C$$
$$\int a^x dx$$	$$\frac {a^x} {\ln a} + C \ \ \ (a > 0, a \ne 1)$$
$$\int \cos x dx$$	$$\sin x + C$$
$$\int \sin x dx$$	$$- \cos x + C$$
$$\int \frac {dx} {\cos^2 x}$$	$$\tg x + C$$
$$\int \frac {dx} {\sin^2 x}$$	$$- \ctg x + C$$
$$\int \frac {dx} {\sqrt {1 - x^2}}$$	$$\begin{gathered} \arcsin x + C_1 = \\ = - \arccos x + C_2 \\ (C_2 = \frac {\pi} {2} + C_1) \end{gathered}$$
$$\int \frac {dx} {1 + x^2}$$	$$\arctg x + C$$
$$\int \ch x dx$$	$$\sh x + C$$
$$\int \sh x dx$$	$$\ch x + C$$

Bestemt integral

Hvis $F(x)$ er en stamfunktion til funktionen $f(x)$, som er defineret og kontinuert på intervallet $[a;b]$, så beregnes den bestemte integral efter formlen:

$$\int _a^b f(x) dx = F(x) \mid _a^b = F(b) - F(a)$$

Egenskaber

De vigtigste egenskaber ved den bestemte integral:

$$\int _a^a f(x) dx = 0$$

$$\int _a^b f(x) dx = - \int _b^a f(x) dx$$

$$\int _a^b f(x) dx = \int _a^c f(x) dx + \\ + \int _c^b f(x) dx \ \ \ (c \in [a;b])$$

Beregningseksempler

Nedenfor findes eksempler på beregning af bestemte integraler. For at udføre disse beregninger på calculatoren skal du trykke på knapperne i den rækkefølge, der er angivet under hvert eksempel. Bemærkning: Indtast int i det tomme felt under calculator-skærmen ved hjælp af din computers tastatur.

$$\int _1^3 (5 + x) dx = 14$$

i n t ( 5 + x ,
x 2^nd var 1 . . 3 2^nd ) =

$$\int _5^8 x^2 dx = 129$$

i n t ( x x² ,
x 2^nd var 5 . . 8 2^nd ) =