Matrixkalkulator
Med denne kalkulator kan du udføre addition, subtraktion eller multiplikation af matricer samt beregne determinanten af en matrice. For at udføre de nødvendige beregninger skal du blot trykke på de knapper, der er angivet under eksemplet i det respektive afsnit.
Transponering af en matrice kan nemt udføres uden en kalkulator, du skal blot følge den detaljerede vejledning.
Hvad er en matrice i matematik
En matrice er en rektangulær tabel med elementer (tal, symboler eller udtryk), der består af $m$ rækker og $n$ kolonner. Hvert element i matricen ligger på skæringspunktet mellem en bestemt række og kolonne.
En matrice betegnes normalt med en stor bogstav, f.eks. $A$. De enkelte elementer i matricen betegnes med indekser, f.eks. $a_{12}$ - elementet i første række og anden kolonne.
$$ A = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \dots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \dots & a_{mn} \end{bmatrix} $$
Størrelsen af en matrice betegnes som $m \times n$. For eksempel har en matrice af størrelse $3 \times 4$ 3 rækker og 4 kolonner. Antallet af elementer i matricen kan findes ved at gange $m$ med $n$ på en almindelig regnemaskine: $3 \cdot 4 = 12$.
Addition og subtraktion af matricer
Addition og subtraktion af matricer er operationer, hvor de tilsvarende elementer i matricerne lægges sammen eller trækkes fra hinanden. Det er nødvendigt, at matricerne har samme størrelse, dvs. det samme antal rækker og kolonner.
Eksempel på addition af matricer:
$$ \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \end{bmatrix} \ + \ \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 3 & 2 & 1 \end{bmatrix} \ = \ $$
$$ \ = \ \begin{bmatrix} 1+1 & 2+2 & 3+3 \\ 4+3 & 5+2 & 6+1 \end{bmatrix} \ = \ $$
$$ \ = \ \begin{bmatrix} 2 & 4 & 6 \\ 7 & 7 & 7 \end{bmatrix} $$
2nd [ [ 1 , 2 , 3 ]
[ 4 , 5 , 6 ] ]
+ [ [ 1 , 2 , 3 ]
[ 3 , 2 , 1 ] ] =
Eksempel på subtraktion af matricer:
$$ \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \end{bmatrix} \ - \ \begin{bmatrix} 3 & 2 & 1 \\ 1 & 2 & 3 \end{bmatrix} \ = \ $$
$$\ = \ \begin{bmatrix} 1-3 & 2-2 & 3-1 \\ 4-1 & 5-2 & 6-3 \end{bmatrix} \ = \ $$
$$\ = \ \begin{bmatrix} -2 & 0 & 2 \\ 3 & 3 & 3 \end{bmatrix} $$
2nd [ [ 1 , 2 , 3 ]
[ 4 , 5 , 6 ] ]
- [ [ 3 , 2 , 1 ]
[ 1 , 2 , 3 ] ] =
Multiplikation af matricer
Multiplikation af to matricer er en operation, hvor en ny matrice kaldes produktet af matricerne beregnes. Hvert element i denne matrice er lig summen af produkterne af elementerne i de tilsvarende rækker i den første matrice og kolonnerne i den anden matrice. For at multiplicere matricer skal antallet af kolonner i den første matrice være lig med antallet af rækker i den anden matrice.
Eksempel på multiplikation af matricer:
$$ \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \end{bmatrix} \ \cdot \ \begin{bmatrix} 7 & 8 \\ 9 & 10 \\ 11 & 12 \end{bmatrix} \ = \ $$
$$ \ = \ \begin{bmatrix} 1 \cdot 7 + 2 \cdot 9 + 3 \cdot 11 & 1 \cdot 8 + 2 \cdot 10 + 3 \cdot 12 \\ 4 \cdot 7 + 5 \cdot 9 + 6 \cdot 11 & 4 \cdot 8 + 5 \cdot 10 + 6 \cdot 12 \end{bmatrix} \ = \ $$
$$\ = \ \begin{bmatrix} 58 & 64 \\ 139 & 154 \end{bmatrix} $$
2nd [ [ 1 , 2 , 3 ]
[ 4 , 5 , 6 ] ]
2nd × 2nd [ [ 7 , 8 ]
[ 9 , 1 0 ]
[ 1 1 , 1 2 ] ] =
Determinant af en matrice
Determinanten af en matrice ($det(A)$ eller $|A|$) er en værdi, der beskriver egenskaberne for en kvadratisk matrice.
Eksempel på beregning af determinanten (det skal indtastes i det tomme felt under kalkulator-displayet ved hjælp af din computers tastatur):
$$ |A| = \begin{vmatrix} 1 & -2 & 3 \\ 4 & 0 & 6 \\ -7 & 8 & 9 \end{vmatrix} = 204 $$
d e t ( 2nd [
[ 1 , - 2 , 3 ]
[ 4 , 0 , 6 ]
[ - 7 , 8 , 9 ]
] 2nd ) =
Transponering af en matrice
Transponering er en operation, hvor rækkerne og kolonnerne i den oprindelige matrice byttes om, dvs. rækkerne bliver til kolonner, og kolonnerne bliver til rækker. Hvis $A$ er den oprindelige matrice, betegnes den transponerede matrice som $A^T$. Hvis den oprindelige matrice $A$ har størrelse $m \times n$, vil den transponerede matrice $A^T$ have størrelse $n \times m$.
$$ A = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \dots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \dots & a_{mn} \end{bmatrix} $$
For at få den transponerede matrice $A^T$ skal du bytte om på rækkerne og kolonnerne i den oprindelige matrice $A$. For at gøre dette skal du følge disse trin:
Tag elementerne i første række fra $a_{11}$ til $a_{1n}$ og skriv dem som første kolonne i den transponerede matrice $A^T$:
$$ A^T = \begin{bmatrix} a_{11} \\ a_{12} \\ \vdots \\ a_{1n} \end{bmatrix} $$
Tag elementerne i anden række fra $a_{21}$ til $a_{2n}$ og skriv dem som anden kolonne i $A^T$:
$$ A^T = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{21} \\ a_{12} & a_{22} \\ \vdots & \vdots \\ a_{1n} & a_{2n} \end{bmatrix} $$
Gentag dette trin for alle rækker i matricen $A$, indtil de alle er skrevet som kolonner i $A^T$:
$$ A^T = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{21} & \dots & a_{m1} \\ a_{12} & a_{22} & \dots & a_{m2} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{1n} & a_{2n} & \dots & a_{mn} \end{bmatrix} $$
På denne måde svarer elementerne $a^T_{ij}$ i den transponerede matrice $A^T$ til elementerne $a_{ji}$ i den oprindelige matrice $A$.
Eksempel på transponering af en matrice:
$$ A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \\ 5 & 6 \end{bmatrix} \ \ A^T = \begin{bmatrix} 1 & 3 & 5 \\ 2 & 4 & 6 \end{bmatrix} $$