Gleichungsrechner
Mit diesem Rechner können Sie lineare, quadratische oder kubische Gleichungen online lösen. Berechnungsbeispiele finden Sie im entsprechenden Abschnitt.
Lösung von Gleichungen
Eine Gleichung ist eine Gleichheit mit einer Variablen (oder Unbekannten). Eine Gleichung mit einer Variablen $x$ wird üblicherweise in der folgenden allgemeinen Form geschrieben: $f(x) = g(x)$.
Die Lösung (oder Wurzel) einer Gleichung ist ein Wert der Variablen, für den die Gleichung zu einer wahren Zahlengleichheit wird. Eine Gleichung lösen bedeutet, alle ihre Lösungen zu finden oder zu beweisen, dass es keine gibt.
So lösen Sie eine Gleichung mit dem Rechner: Geben Sie zuerst den Teil der Gleichung vor dem Gleichheitszeichen = ein, drücken Sie die Taste x=y, geben Sie den verbleibenden Teil der Gleichung ein und drücken Sie die Taste =, um die Berechnung durchzuführen. Zum Beispiel ist die Wurzel der Gleichung $2x - 4 = 0$ $x = 2$. Hier ist, wie dieses Ergebnis mit dem Gleichungsrechner erhalten wurde:
$$2x - 4 = 0 \\ \Downarrow \\ x = 2$$
2 x - 4 x=y 0 =
Lineare Gleichungen
Eine lineare Gleichung mit einer Unbekannten ist eine Gleichung der folgenden Form:
$$ax + b = 0,$$
wobei
- $x$ die Unbekannte,
- $a$ der Koeffizient der Unbekannten und
- $b$ die freie Konstante der Gleichung ist.
Lineare Gleichungen sind die einfachsten algebraischen Gleichungen, deren Lösung auf die Ausführung einfacher arithmetischer Operationen zurückgeführt werden kann.
Lösungsbeispiele:
$$4x - 16 = 0 \\ \Downarrow \\ x = 4$$
4 x - 1 6 x=y 0 =
$$3x + 2 = 6 - x \\ \Downarrow \\ x = 1$$
3 x + 2 x=y 6 - x =
Quadratische Gleichungen
Eine quadratische Gleichung ist eine Gleichung der folgenden Form:
$$ax^2 + bx + c = 0 \ \ \ (a \ne 0)$$
Lösen quadratischer Gleichungen mit dem Rechner:
$$4x^2 - 6x + 2 = 0 \\ \Downarrow \\ x_1 = 1, \ x_2 = 0.5$$
4 x x2 - 6 x
+ 2 x=y 0 =
$$x^2 - 3x - 4 = 0 \\ \Downarrow \\ x_1 = 4, \ x_2 = -1$$
x x2 - 3 x - 4 x=y 0 =
$$x^2 - 4x + 4 = 0 \\ \Downarrow \\ x_1 = x_2 = x = 2$$
x x2 - 4 x + 4 x=y 0 =
Koeffizientenverhältnisse
Es gibt quadratische Gleichungen, deren Koeffizienten in solchen Verhältnissen zueinander stehen, dass diese Gleichungen viel einfacher gelöst werden können.
$$a + b + c = 0 \\ \Downarrow \\ x_1 = 1, \ x_2 = \frac {c} {a}$$
$$a + c = b \\ \Downarrow \\ x_1 = -1, \ x_2 = - \frac {c} {a}$$
Die Wurzeln solcher Gleichungen können auch mit einem gewöhnlichen Taschenrechner gefunden werden.
Diskriminante
Die Diskriminante wird zur Bestimmung der Wurzeln einer quadratischen Gleichung verwendet. Die Formel zur Berechnung der Diskriminante lautet:
$$D = b^2 - 4ac$$
Die Formel zur Berechnung der Wurzeln unter Verwendung der Diskriminante:
$$x_{1,2} = \frac {-b \pm \sqrt D} {2a}$$
Wenn $D > 0$, hat die Gleichung zwei verschiedene Wurzeln. Zum Beispiel:
$$4x^2 - 6x + 2 = 0 \\ \Downarrow \\ a = 4, \ b = -6, \ c = 2 \\ \Downarrow \\ D = (-6)^2 - 4 × 4 × 2 = 4 \\ \Downarrow \\ x_{1,2} = \frac {-(-6) \pm \sqrt 4} {2 × 4} \\ \Downarrow \\ x_1 = \frac {6 + 2} {8} = 1, \ x_2 = \frac {6 - 2} {8} = 0.5$$
Wenn $D = 0$, hat die Gleichung eine Wurzel (oder zwei gleiche Wurzeln). Zum Beispiel:
$$x^2 - 4x + 4 = 0 \\ \Downarrow \\ a = 1, \ b = -4, \ c = 4 \\ \Downarrow \\ D = (-4)^2 - 4 × 1 × 4 = 0 \\ \Downarrow \\ x_{1,2} = \frac {-(-4) \pm \sqrt 0} {2 × 1} \\ \Downarrow \\ x_1 = x_2 = x = \frac {4 \pm 0} {2} = 2$$
Wenn $D < 0$, hat die Gleichung keine Wurzeln in der Menge der reellen Zahlen:
$$x^2 + 4x + 5 = 0 \\ \Downarrow \\ a = 1, \ b = 4, \ c = 5 \\ \Downarrow \\ D = 6^2 - 4 × 1 × 5 = -4 \\ \Downarrow \\ x_{1,2} = \frac {-4 \pm \sqrt {-4}} {2 × 1} \\ \Downarrow \\ x_1 = \frac {-4 + 2i} {2} = -2 + i, \\ x_2 = \frac {-4 - 2i} {2} = -2 - i$$
Vietascher Satz
Der Vietasche Satz stellt einfache algebraische Beziehungen (Vietasche Formeln) zwischen den Wurzeln $x_1, x_2$ einer quadratischen Gleichung und ihren Koeffizienten $a, b, c$ her. Mit Hilfe dieser Formeln können die Wurzeln bestimmt werden, wenn die Koeffizienten bekannt sind, oder die Koeffizienten berechnet werden, wenn die Wurzeln bekannt sind.
Vietasche Formeln:
$$\begin {cases} x_1 + x_2 = - \dfrac {b} {a} \\ x_1 x_2 = \dfrac {c} {a} \end {cases}$$
Bikvadratische Gleichungen
Eine bikvadratische Gleichung ist eine Gleichung der folgenden Form:
$$ax^4 + bx^2 + c = 0 \ \ \ (a \ne 0)$$
Durch die Substitution $x^2$ mit $y \ (y \ge 0)$ erhält man eine quadratische Gleichung, für die die Wurzeln $y_1, y_2$ bestimmt werden können. Die Wurzeln der bikvadratischen Gleichung werden dann wie folgt gefunden:
$$x_{1,2} = \pm \sqrt {y_1}, \ \ \ x_{3,4} = \pm \sqrt {y_2}$$
Kubische Gleichungen
Eine kubische Gleichung ist eine Gleichung der folgenden Form:
$$ax^3 + bx^2 + cx + d = 0 \ \ \ (a \ne 0)$$
Lösungsbeispiel:
$$x^3 - 6x^2 - 31x + 120 = 0 \\ \Downarrow \\ x_1 = -5, x_2 = 3, x_3 = 8$$
x x3 - 6 x x2 - 3 1 x
+ 1 2 0 x=y 0 =
Wenn man die kubische Gleichung durch $a$ teilt und $x$ durch $y - \frac {b} {3a}$ ersetzt, erhält man die folgende einfachere Form:
$$y^3 + py + q = 0,$$
wobei
$y = x + \frac {b} {3a}$,
$p = \frac {c} {a} - \frac {b^2} {3a^2} = \frac {3ac - b^2} {3a^2}$,
$q = \frac {2b^3} {27a^3} - \frac {bc} {3a^2} + \frac {d} {a} = \frac {2b^3 - 9abc + 27a^2d} {27a^3}$.
Cardano-Formel
Wenn eine kubische Gleichung die folgende Form hat:
$$y^3 + py + q = 0,$$
kann die Cardano-Formel zur Bestimmung der Wurzeln dieser Gleichung angewendet werden:
$$x = \sqrt[3] {- \frac {q} {2} + \sqrt {\frac {q^2} {4} + \frac {p^3} {27}}} + \\ + \ \sqrt[3] {- \frac {q} {2} - \sqrt {\frac {q^2} {4} + \frac {p^3} {27}}}$$