Integralrechner
Mit diesem Rechner können Sie unbestimmte oder bestimmte Integrale berechnen. Berechnungsbeispiele finden Sie im entsprechenden Abschnitt.
Einige Grundintegrale müssen nicht berechnet werden, sondern können direkt in der Tabelle die Stammfunktion gefunden werden.
Stammfunktion
Die Stammfunktion für eine Funktion $f(x)$ ist eine Funktion $F(x)$, deren Ableitung gleich $f(x)$ ist, d.h. $F^{\prime}(x) = f(x)$. Die Suche nach der Stammfunktion ist der Vorgang, der der Differentiation entgegengesetzt ist.
Wenn $F(x)$ eine Stammfunktion für $f(x)$ ist, dann ist die Funktion $F(x) + C$, wobei $C$ eine beliebige Konstante ist, auch eine Stammfunktion für $f(x)$.
Unbestimmtes Integral
Das unbestimmte Integral einer Funktion $f(x)$ ist die Gesamtheit aller Stammfunktionen dieser Funktion. Dies wird wie folgt angegeben:
$$\int f(x) dx = F(x) + C,$$
wobei
- $\int$ - das Integralzeichen
- $f(x)$ - die Integrandfunktion
- $dx$ - das Integrationselement
- $F(x)$ - die Stammfunktion
- $C$ - die Integrationskonstante
Der Vorgang der Integralsuche wird als Integration bezeichnet.
Eigenschaften
Die grundlegenden Eigenschaften des unbestimmten Integrals:
$$\int a \cdot f(x) dx = \\ = a \cdot \int f(x) dx \ \ \ (a \ne 0)$$
$$\int (f(x) \pm g(x)) dx = \\ = \int f(x) dx \pm \int g(x) dx$$
Berechnungsbeispiele
Unten finden Sie Beispiele für die Berechnung unbestimmter Integrale. Um diese Berechnungen auf dem Integralrechner durchzuführen, müssen Sie nacheinander auf die unter jedem Beispiel angegebenen Schaltflächen klicken. Hinweis: Geben Sie int in das leere Feld unter dem Rechner-Display ein, indem Sie die Tastatur Ihres Computers verwenden.
$$\int x^3 dx = \frac {x^4} {4} + C$$
i n t ( x xy 3 ) =
$$\int \sin 7x dx = - \frac {\cos 7x} {7} + C$$
i n t ( sin 7 x ) =
$$\int x^3 y dy = \frac {x^3 y^2} {2} + C$$
i n t ( x x^3 y , y ) =
Integraltabelle
Tabelle der Hauptunbestimmten Integrale und ihrer entsprechenden Stammfunktionen:
| $\int f(x) dx$ | $F(x) + C$ |
|---|---|
| $$\int 0 \cdot dx$$ | $$C$$ |
| $$\int dx$$ | $$x + C$$ |
| $$\int x^n dx$$ | $$\frac {x^{n + 1}} {n + 1} + C \ \ \ (n \ne -1)$$ |
| $$\int \frac {1} {x} dx$$ | $$\ln | x | + C$$ |
| $$\int e^x dx$$ | $$e^x + C$$ |
| $$\int a^x dx$$ | $$\frac {a^x} {\ln a} + C \ \ \ (a > 0, a \ne 1)$$ |
| $$\int \cos x dx$$ | $$\sin x + C$$ |
| $$\int \sin x dx$$ | $$- \cos x + C$$ |
| $$\int \frac {dx} {\cos^2 x}$$ | $$\tg x + C$$ |
| $$\int \frac {dx} {\sin^2 x}$$ | $$- \ctg x + C$$ |
| $$\int \frac {dx} {\sqrt {1 - x^2}}$$ | $$\begin{gathered} \arcsin x + C_1 = \\ = - \arccos x + C_2 \\ (C_2 = \frac {\pi} {2} + C_1) \end{gathered}$$ |
| $$\int \frac {dx} {1 + x^2}$$ | $$\arctg x + C$$ |
| $$\int \ch x dx$$ | $$\sh x + C$$ |
| $$\int \sh x dx$$ | $$\ch x + C$$ |
Bestimmtes Integral
Wenn $F(x)$ eine Stammfunktion für eine Funktion $f(x)$ ist, die auf dem Intervall $[a;b]$ definiert und kontinuierlich ist, wird das bestimmte Integral nach der Formel berechnet:
$$\int _a^b f(x) dx = F(x) \mid _a^b = F(b) - F(a)$$
Eigenschaften
Die grundlegenden Eigenschaften des bestimmten Integrals:
$$\int _a^a f(x) dx = 0$$
$$\int _a^b f(x) dx = - \int _b^a f(x) dx$$
$$\int _a^b f(x) dx = \int _a^c f(x) dx + \\ + \int _c^b f(x) dx \ \ \ (c \in [a;b])$$
Berechnungsbeispiele
Unten finden Sie Beispiele für die Berechnung bestimmter Integrale. Um diese Berechnungen auf dem Rechner durchzuführen, müssen Sie nacheinander auf die unter jedem Beispiel angegebenen Schaltflächen klicken. Hinweis: Geben Sie int in das leere Feld unter dem Rechner-Display ein, indem Sie die Tastatur Ihres Computers verwenden.
$$\int _1^3 (5 + x) dx = 14$$
i n t ( 5 + x ,
x 2nd var 1 . . 3 2nd ) =
$$\int _5^8 x^2 dx = 129$$
i n t ( x x2 ,
x 2nd var 5 . . 8 2nd ) =