Matrix-Rechner
Mit diesem Rechner können Sie Matrizen addieren, subtrahieren oder multiplizieren sowie die Determinante einer Matrix berechnen. Um die erforderlichen Berechnungen durchzuführen, müssen Sie der Reihe nach auf die Schaltflächen klicken, die unter dem Beispiel im entsprechenden Abschnitt angegeben sind.
Die Transponierung einer Matrix können Sie ganz einfach durchführen, ohne einen Rechner zu verwenden. Befolgen Sie dazu einfach die detaillierten Anweisungen.
Was ist eine Matrix in der Mathematik
Eine Matrix ist eine rechteckige Tabelle von Elementen (Zahlen, Symbolen oder Ausdrücken), die aus $m$ Zeilen und $n$ Spalten besteht. Jedes Element der Matrix befindet sich an der Kreuzung einer bestimmten Zeile und Spalte.
Eine Matrix wird normalerweise mit einem Großbuchstaben bezeichnet, z.B. $A$. Einzelne Matrixelemente werden mit Hilfe von Indizes bezeichnet, z.B. $a_{12}$ - das Element, das sich in der ersten Zeile und zweiten Spalte befindet.
$$ A = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \dots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \dots & a_{mn} \end{bmatrix} $$
Die Größe einer Matrix wird als $m \times n$ angegeben. Eine Matrix der Größe $3 \times 4$ hätte beispielsweise 3 Zeilen und 4 Spalten. Die Anzahl der Elemente in einer Matrix lässt sich ermitteln, indem man $m$ mit $n$ auf einem normalen Taschenrechner multipliziert: $3 \cdot 4 = 12$.
Addition und Subtraktion von Matrizen
Bei der Addition und Subtraktion von Matrizen werden die entsprechenden Elemente der Matrizen addiert bzw. subtrahiert. Dabei müssen die Matrizen die gleiche Größe haben, d.h. sie müssen die gleiche Anzahl von Zeilen und Spalten aufweisen.
Beispiel für die Addition von Matrizen:
$$ \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \end{bmatrix} \ + \ \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 3 & 2 & 1 \end{bmatrix} \ = \ $$
$$ \ = \ \begin{bmatrix} 1+1 & 2+2 & 3+3 \\ 4+3 & 5+2 & 6+1 \end{bmatrix} \ = \ $$
$$ \ = \ \begin{bmatrix} 2 & 4 & 6 \\ 7 & 7 & 7 \end{bmatrix} $$
2nd [ [ 1 , 2 , 3 ]
[ 4 , 5 , 6 ] ]
+ [ [ 1 , 2 , 3 ]
[ 3 , 2 , 1 ] ] =
Beispiel für die Subtraktion von Matrizen:
$$ \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \end{bmatrix} \ - \ \begin{bmatrix} 3 & 2 & 1 \\ 1 & 2 & 3 \end{bmatrix} \ = \ $$
$$\ = \ \begin{bmatrix} 1-3 & 2-2 & 3-1 \\ 4-1 & 5-2 & 6-3 \end{bmatrix} \ = \ $$
$$\ = \ \begin{bmatrix} -2 & 0 & 2 \\ 3 & 3 & 3 \end{bmatrix} $$
2nd [ [ 1 , 2 , 3 ]
[ 4 , 5 , 6 ] ]
- [ [ 3 , 2 , 1 ]
[ 1 , 2 , 3 ] ] =
Multiplikation von Matrizen
Bei der Multiplikation zweier Matrizen wird eine neue Matrix berechnet, die als Matrixprodukt bezeichnet wird. Jedes Element dieser Matrix ist gleich der Summe der Produkte der Elemente in der entsprechenden Zeile der ersten Matrix und der Spalte der zweiten Matrix. Für die Multiplikation von Matrizen muss die Anzahl der Spalten in der ersten Matrix gleich der Anzahl der Zeilen in der zweiten Matrix sein.
Beispiel für die Multiplikation von Matrizen:
$$ \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \end{bmatrix} \ \cdot \ \begin{bmatrix} 7 & 8 \\ 9 & 10 \\ 11 & 12 \end{bmatrix} \ = \ $$
$$ \ = \ \begin{bmatrix} 1 \cdot 7 + 2 \cdot 9 + 3 \cdot 11 & 1 \cdot 8 + 2 \cdot 10 + 3 \cdot 12 \\ 4 \cdot 7 + 5 \cdot 9 + 6 \cdot 11 & 4 \cdot 8 + 5 \cdot 10 + 6 \cdot 12 \end{bmatrix} \ = \ $$
$$\ = \ \begin{bmatrix} 58 & 64 \\ 139 & 154 \end{bmatrix} $$
2nd [ [ 1 , 2 , 3 ]
[ 4 , 5 , 6 ] ]
2nd × 2nd [ [ 7 , 8 ]
[ 9 , 1 0 ]
[ 1 1 , 1 2 ] ] =
Determinante einer Matrix
Die Determinante einer Matrix ($det(A)$ oder $|A|$) ist eine Größe, die die Eigenschaften einer quadratischen Matrix charakterisiert.
Beispiel für die Berechnung der Determinante (det muss in das leere Feld unter dem Rechner-Bildschirm über die Computertastatur eingegeben werden):
$$ |A| = \begin{vmatrix} 1 & -2 & 3 \\ 4 & 0 & 6 \\ -7 & 8 & 9 \end{vmatrix} = 204 $$
d e t ( 2nd [
[ 1 , - 2 , 3 ]
[ 4 , 0 , 6 ]
[ - 7 , 8 , 9 ]
] 2nd ) =
Transponieren einer Matrix
Transponieren ist eine Operation, bei der die Zeilen und Spalten der Ausgangsmatrix vertauscht werden, d.h. die Zeilen werden zu Spalten und die Spalten zu Zeilen. Wenn $A$ die Ausgangsmatrix ist, wird die transponierte Matrix als $A^T$ bezeichnet. Wenn die Ausgangsmatrix $A$ die Größe $m \times n$ hat, hat die transponierte Matrix $A^T$ die Größe $n \times m$.
$$ A = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \dots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \dots & a_{mn} \end{bmatrix} $$
Um die transponierte Matrix $A^T$ zu erhalten, müssen die Zeilen und Spalten der Ausgangsmatrix $A$ vertauscht werden. Dazu müssen Sie die folgenden Schritte ausführen.
Nehmen Sie die Elemente der ersten Zeile von $a_{11}$ bis $a_{1n}$ und schreiben Sie sie als erste Spalte der transponierten Matrix $A^T$:
$$ A^T = \begin{bmatrix} a_{11} \\ a_{12} \\ \vdots \\ a_{1n} \end{bmatrix} $$
Nehmen Sie die Elemente der zweiten Zeile von $a_{21}$ bis $a_{2n}$ und schreiben Sie sie als zweite Spalte von $A^T$:
$$ A^T = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{21} \\ a_{12} & a_{22} \\ \vdots & \vdots \\ a_{1n} & a_{2n} \end{bmatrix} $$
Wiederholen Sie diesen Schritt für alle Zeilen der Matrix $A$, bis sie als Spalten von $A^T$ aufgeschrieben sind:
$$ A^T = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{21} & \dots & a_{m1} \\ a_{12} & a_{22} & \dots & a_{m2} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{1n} & a_{2n} & \dots & a_{mn} \end{bmatrix} $$
Auf diese Weise entsprechen die Elemente $a^T_{ij}$ der transponierten Matrix $A^T$ den Elementen $a_{ji}$ der Ausgangsmatrix $A$.
Beispiel für die Transponierung einer Matrix:
$$ A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \\ 5 & 6 \end{bmatrix} \ \ A^T = \begin{bmatrix} 1 & 3 & 5 \\ 2 & 4 & 6 \end{bmatrix} $$