Υπολογιστής Εξισώσεων
Με αυτόν τον υπολογιστή μπορείτε να λύσετε γραμμική, τετραγωνική ή κυβική εξίσωση online. Παραδείγματα υπολογισμών μπορείτε να βρείτε στην αντίστοιχη ενότητα.
Επίλυση εξισώσεων
Η εξίσωση είναι μια ισότητα με μεταβλητή (ή άγνωστο). Μια εξίσωση με μία μεταβλητή $x$ γενικά γράφεται ως εξής: $f(x) = g(x)$.
Η λύση (ή ρίζα) της εξίσωσης είναι η τιμή της μεταβλητής που μετατρέπει την εξίσωση σε αληθή αριθμητική ισότητα. Να λύσετε μια εξίσωση σημαίνει να βρείτε όλες τις λύσεις της ή να αποδείξετε ότι δεν υπάρχουν.
Για να λύσετε μια εξίσωση στον υπολογιστή: πρώτα εισάγετε το μέρος της εξίσωσης πριν από το σημάδι =, πατήστε το κουμπί x=y, εισάγετε το υπόλοιπο μέρος της εξίσωσης, πατήστε το κουμπί = για να κάνετε τους υπολογισμούς. Για παράδειγμα, για την εξίσωση $2x - 4 = 0$ η ρίζα είναι $x = 2$. Αυτό το αποτέλεσμα ελήφθη με τον υπολογιστή εξισώσεων ως εξής:
$$2x - 4 = 0 \\ \Downarrow \\ x = 2$$
2 x - 4 x=y 0 =
Γραμμικές εξισώσεις
Η γραμμική εξίσωση με ένα άγνωστο είναι μια εξίσωση της ακόλουθης μορφής:
$$ax + b = 0,$$
όπου
- $x$ είναι το άγνωστο,
- $a$ είναι ο συντελεστής του αγνώστου,
- $b$ είναι ο σταθερός όρος της εξίσωσης.
Οι γραμμικές εξισώσεις είναι το απλούστερο είδος αλγεβρικών εξισώσεων, η επίλυση των οποίων συνίσταται στην εκτέλεση απλών αριθμητικών πράξεων.
Παραδείγματα επίλυσης:
$$4x - 16 = 0 \\ \Downarrow \\ x = 4$$
4 x - 1 6 x=y 0 =
$$3x + 2 = 6 - x \\ \Downarrow \\ x = 1$$
3 x + 2 x=y 6 - x =
Τετραγωνικές εξισώσεις
Μια τετραγωνική εξίσωση είναι μια εξίσωση με την ακόλουθη μορφή:
$$ax^2 + bx + c = 0 \ \ \ (a \ne 0)$$
Λύση τετραγωνικών εξισώσεων στον υπολογιστή:
$$4x^2 - 6x + 2 = 0 \\ \Downarrow \\ x_1 = 1, \ x_2 = 0.5$$
4 x x2 - 6 x
+ 2 x=y 0 =
$$x^2 - 3x - 4 = 0 \\ \Downarrow \\ x_1 = 4, \ x_2 = -1$$
x x2 - 3 x - 4 x=y 0 =
$$x^2 - 4x + 4 = 0 \\ \Downarrow \\ x_1 = x_2 = x = 2$$
x x2 - 4 x + 4 x=y 0 =
Σχέσεις συντελεστών
Υπάρχουν τετραγωνικές εξισώσεις με συντελεστές που σχετίζονται μεταξύ τους με τρόπο που επιτρέπει τη λύση τους πολύ πιο απλά.
$$a + b + c = 0 \\ \Downarrow \\ x_1 = 1, \ x_2 = \frac {c} {a}$$
$$a + c = b \\ \Downarrow \\ x_1 = -1, \ x_2 = - \frac {c} {a}$$
Οι ρίζες τέτοιων εξισώσεων μπορούν επίσης να βρεθούν με έναν απλό υπολογιστή.
Διακρίνουσα
Η διακρίνουσα χρησιμοποιείται για να βρεθούν οι ρίζες μιας τετραγωνικής εξίσωσης. Ο τύπος για τον υπολογισμό της διακρίνουσας είναι:
$$D = b^2 - 4ac$$
Ο τύπος για τον υπολογισμό των ριζών χρησιμοποιώντας τη διακρίνουσα:
$$x_{1,2} = \frac {-b \pm \sqrt D} {2a}$$
Αν $D > 0$, η εξίσωση έχει δύο διαφορετικές ρίζες. Για παράδειγμα:
$$4x^2 - 6x + 2 = 0 \\ \Downarrow \\ a = 4, \ b = -6, \ c = 2 \\ \Downarrow \\ D = (-6)^2 - 4 × 4 × 2 = 4 \\ \Downarrow \\ x_{1,2} = \frac {-(-6) \pm \sqrt 4} {2 × 4} \\ \Downarrow \\ x_1 = \frac {6 + 2} {8} = 1, \ x_2 = \frac {6 - 2} {8} = 0.5$$
Αν $D = 0$, η εξίσωση έχει μία ρίζα (ή δύο ίδιες ρίζες). Για παράδειγμα:
$$x^2 - 4x + 4 = 0 \\ \Downarrow \\ a = 1, \ b = -4, \ c = 4 \\ \Downarrow \\ D = (-4)^2 - 4 × 1 × 4 = 0 \\ \Downarrow \\ x_{1,2} = \frac {-(-4) \pm \sqrt 0} {2 × 1} \\ \Downarrow \\ x_1 = x_2 = x = \frac {4 \pm 0} {2} = 2$$
Αν $D < 0$, η εξίσωση δεν έχει πραγματικές ρίζες:
$$x^2 + 4x + 5 = 0 \\ \Downarrow \\ a = 1, \ b = 4, \ c = 5 \\ \Downarrow \\ D = 6^2 - 4 × 1 × 5 = -4 \\ \Downarrow \\ x_{1,2} = \frac {-4 \pm \sqrt {-4}} {2 × 1} \\ \Downarrow \\ x_1 = \frac {-4 + 2i} {2} = -2 + i, \\ x_2 = \frac {-4 - 2i} {2} = -2 - i$$
Θεώρημα Vieta
Το θεώρημα του Vieta καθιερώνει απλές αλγεβρικές σχέσεις (οι τύποι του Vieta) μεταξύ των ριζών $x_1, x_2$ μιας τετραγωνικής εξίσωσης και των συντελεστών της $a, b, c$. Χρησιμοποιώντας αυτούς τους τύπους, μπορούμε να βρούμε τις ρίζες αν γνωρίζουμε τους συντελεστές, ή να υπολογίσουμε τους συντελεστές αν γνωρίζουμε τις ρίζες.
Οι τύποι του Vieta:
$$\begin {cases} x_1 + x_2 = - \dfrac {b} {a} \\ x_1 x_2 = \dfrac {c} {a} \end {cases}$$
Διτετραγωνικές εξισώσεις
Μια διτετραγωνική εξίσωση είναι μια εξίσωση με την ακόλουθη μορφή:
$$ax^4 + bx^2 + c = 0 \ \ \ (a \ne 0)$$
Αν γίνει η αντικατάσταση $x^2$ με $y \ (y \ge 0)$, τότε θα έχουμε μια τετραγωνική εξίσωση για την οποία μπορούμε να βρούμε τις ρίζες $y_1, y_2$. Οι ρίζες της διτετραγωνικής εξίσωσης υπολογίζονται ως εξής:
$$x_{1,2} = \pm \sqrt {y_1}, \ \ \ x_{3,4} = \pm \sqrt {y_2}$$
Κυβικές εξισώσεις
Μια κυβική εξίσωση είναι μια εξίσωση με την ακόλουθη μορφή:
$$ax^3 + bx^2 + cx + d = 0 \ \ \ (a \ne 0)$$
Παράδειγμα λύσης:
$$x^3 - 6x^2 - 31x + 120 = 0 \\ \Downarrow \\ x_1 = -5, x_2 = 3, x_3 = 8$$
x x3 - 6 x x2 - 3 1 x
+ 1 2 0 x=y 0 =
Αν διαιρέσουμε την κυβική εξίσωση με $a$ και αντικαταστήσουμε το $x$ με $y - \frac {b} {3a}$, τότε θα πάρει την ακόλουθη πιο απλή μορφή:
$$y^3 + py + q = 0,$$
όπου
$y = x + \frac {b} {3a}$,
$p = \frac {c} {a} - \frac {b^2} {3a^2} = \frac {3ac - b^2} {3a^2}$,
$q = \frac {2b^3} {27a^3} - \frac {bc} {3a^2} + \frac {d} {a} = \frac {2b^3 - 9abc + 27a^2d} {27a^3}$.
Τύπος του Cardano
Αν μια κυβική εξίσωση έχει την ακόλουθη μορφή:
$$y^3 + py + q = 0,$$
τότε ο τύπος του Cardano μπορεί να χρησιμοποιηθεί για να βρεθούν οι ρίζες της εξίσωσης:
$$x = \sqrt[3] {- \frac {q} {2} + \sqrt {\frac {q^2} {4} + \frac {p^3} {27}}} + \\ + \ \sqrt[3] {- \frac {q} {2} - \sqrt {\frac {q^2} {4} + \frac {p^3} {27}}}$$