Web 2.0 scientific calculator

Υπολογιστής Ολοκληρωμάτων

Με αυτόν τον υπολογιστή μπορείτε να υπολογίσετε ένα αόριστο ή οριζόμενο ολοκλήρωμα. Παραδείγματα υπολογισμών μπορείτε να βρείτε στην αντίστοιχη ενότητα.

Ορισμένα βασικά ολοκληρώματα μπορείτε να μην τα υπολογίσετε, αλλά να βρείτε απευθείας το πρωτότυπο στον πίνακα.

Πρωτότυπο

Το πρωτότυπο για μια συνάρτηση $f(x)$ είναι μια συνάρτηση $F(x)$ της οποίας η παράγωγος είναι ίση με $f(x)$, δηλαδή $F^{\prime}(x) = f(x)$. Η εύρεση του πρωτοτύπου είναι η αντίστροφη πράξη από την διαφορίζηση.

Εάν το $F(x)$ είναι ένα πρωτότυπο της $f(x)$, τότε η συνάρτηση $F(x) + C$, όπου $C$ είναι μια τυχαία σταθερά, είναι επίσης ένα πρωτότυπο της $f(x)$.

Αόριστο Ολοκλήρωμα

Το αόριστο ολοκλήρωμα για μια συνάρτηση $f(x)$ είναι το σύνολο όλων των πρωτοτύπων αυτής της συνάρτησης. Συμβολίζεται ως εξής:

$$\int f(x) dx = F(x) + C,$$

όπου

  • $\int$ - το σύμβολο του ολοκληρώματος
  • $f(x)$ - η υπό το ολοκλήρωμα συνάρτηση
  • $dx$ - το στοιχείο ολοκλήρωσης
  • $F(x)$ - το πρωτότυπο
  • $C$ - η σταθερά ολοκλήρωσης

Η πράξη εύρεσης του ολοκληρώματος ονομάζεται ολοκλήρωση.

Ιδιότητες

Οι βασικές ιδιότητες του αόριστου ολοκληρώματος:

$$\int a \cdot f(x) dx = \\ = a \cdot \int f(x) dx \ \ \ (a \ne 0)$$


$$\int (f(x) \pm g(x)) dx = \\ = \int f(x) dx \pm \int g(x) dx$$

Παραδείγματα Υπολογισμού

Παρακάτω παρατίθενται παραδείγματα υπολογισμού αόριστων ολοκληρωμάτων. Για να κάνετε αυτούς τους υπολογισμούς στον υπολογιστή ολοκληρωμάτων, πρέπει να πατήσετε διαδοχικά τα κουμπιά που αναφέρονται κάτω από κάθε παράδειγμα. Σημείωση: πληκτρολογήστε int στο κενό πεδίο κάτω από την οθόνη του υπολογιστή, χρησιμοποιώντας το πληκτρολόγιο του υπολογιστή σας.

$$\int x^3 dx = \frac {x^4} {4} + C$$

i n t ( x xy 3 ) =


$$\int \sin 7x dx = - \frac {\cos 7x} {7} + C$$

i n t ( sin 7 x ) =


$$\int x^3 y dy = \frac {x^3 y^2} {2} + C$$

i n t ( x x^3 y , y ) =

Πίνακας Ολοκληρωμάτων

Πίνακας βασικών αόριστων ολοκληρωμάτων και των αντίστοιχων πρωτοτύπων τους:

$\int f(x) dx$$F(x) + C$
$$\int 0 \cdot dx$$$$C$$
$$\int dx$$$$x + C$$
$$\int x^n dx$$$$\frac {x^{n + 1}} {n + 1} + C \ \ \ (n \ne -1)$$
$$\int \frac {1} {x} dx$$$$\ln | x | + C$$
$$\int e^x dx$$$$e^x + C$$
$$\int a^x dx$$$$\frac {a^x} {\ln a} + C \ \ \ (a > 0, a \ne 1)$$
$$\int \cos x dx$$$$\sin x + C$$
$$\int \sin x dx$$$$- \cos x + C$$
$$\int \frac {dx} {\cos^2 x}$$$$\tg x + C$$
$$\int \frac {dx} {\sin^2 x}$$$$- \ctg x + C$$
$$\int \frac {dx} {\sqrt {1 - x^2}}$$$$\begin{gathered} \arcsin x + C_1 = \\ = - \arccos x + C_2 \\ (C_2 = \frac {\pi} {2} + C_1) \end{gathered}$$
$$\int \frac {dx} {1 + x^2}$$$$\arctg x + C$$
$$\int \ch x dx$$$$\sh x + C$$
$$\int \sh x dx$$$$\ch x + C$$

Οριζόμενο Ολοκλήρωμα

Εάν το $F(x)$ είναι ένα πρωτότυπο για μια συνάρτηση $f(x)$, η οποία είναι ορισμένη και συνεχής στο διάστημα $[a;b]$, τότε το οριζόμενο ολοκλήρωμα υπολογίζεται από τον τύπο:

$$\int _a^b f(x) dx = F(x) \mid _a^b = F(b) - F(a)$$

Ιδιότητες

Οι βασικές ιδιότητες του οριζόμενου ολοκληρώματος:

$$\int _a^a f(x) dx = 0$$


$$\int _a^b f(x) dx = - \int _b^a f(x) dx$$


$$\int _a^b f(x) dx = \int _a^c f(x) dx + \\ + \int _c^b f(x) dx \ \ \ (c \in [a;b])$$

Παραδείγματα Υπολογισμού

Παρακάτω παρατίθενται παραδείγματα υπολογισμού οριζόμενων ολοκληρωμάτων. Για να κάνετε αυτούς τους υπολογισμούς στον υπολογιστή, πρέπει να πατήσετε διαδοχικά τα κουμπιά που αναφέρονται κάτω από κάθε παράδειγμα. Σημείωση: πληκτρολογήστε int στο κενό πεδίο κάτω από την οθόνη του υπολογιστή χρησιμοποιώντας το πληκτρολόγιο του υπολογιστή σας.

$$\int _1^3 (5 + x) dx = 14$$

i n t ( 5 + x ,
x 2nd var 1 . . 3 2nd ) =


$$\int _5^8 x^2 dx = 129$$

i n t ( x x2 ,
x 2nd var 5 . . 8 2nd ) =