Υπολογιστής Πινάκων
Με αυτόν τον υπολογιστή μπορείτε να προσθέσετε, αφαιρέσετε ή πολλαπλασιάσετε πίνακες, καθώς και να υπολογίσετε το ορίσμα ενός πίνακα. Για να κάνετε τους απαραίτητους υπολογισμούς, πρέπει να πατήσετε διαδοχικά τα κουμπιά που αναφέρονται κάτω από το παράδειγμα στην αντίστοιχη ενότητα.
Η μεταφορά ενός πίνακα μπορεί να γίνει εύκολα ακόμη και χωρίς υπολογιστή, απλά ακολουθήστε τις λεπτομερείς οδηγίες.
Τι είναι ένας πίνακας στα μαθηματικά
Ένας πίνακας είναι ένας ορθογώνιος πίνακας οποιωνδήποτε στοιχείων (αριθμών, συμβόλων ή εκφράσεων), που αποτελείται από $m$ γραμμές και $n$ στήλες. Κάθε στοιχείο του πίνακα βρίσκεται στη διασταύρωση μιας συγκεκριμένης γραμμής και στήλης.
Ένας πίνακας συνήθως συμβολίζεται με ένα κεφαλαίο γράμμα, για παράδειγμα, $A$. Τα επιμέρους στοιχεία ενός πίνακα συμβολίζονται με δείκτες, για παράδειγμα, $a_{12}$ είναι το στοιχείο που βρίσκεται στην πρώτη γραμμή και τη δεύτερη στήλη.
$$ A = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \dots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \dots & a_{mn} \end{bmatrix} $$
Το μέγεθος ενός πίνακα συμβολίζεται ως $m \times n$. Για παράδειγμα, ένας πίνακας μεγέθους $3 \times 4$ θα έχει 3 γραμμές και 4 στήλες. Μπορείτε να βρείτε τον αριθμό των στοιχείων σε έναν πίνακα πολλαπλασιάζοντας το $m$ με το $n$ σε έναν κανονικό υπολογιστή: $3 \cdot 4 = 12$.
Πρόσθεση και Αφαίρεση Πινάκων
Η πρόσθεση και η αφαίρεση πινάκων είναι πράξεις κατά τις οποίες τα αντίστοιχα στοιχεία των πινάκων προστίθενται ή αφαιρούνται. Για αυτό, απαιτείται οι πίνακες να έχουν το ίδιο μέγεθος, δηλαδή να έχουν τον ίδιο αριθμό γραμμών και στηλών.
Παράδειγμα πρόσθεσης πινάκων:
$$ \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \end{bmatrix} \ + \ \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 3 & 2 & 1 \end{bmatrix} \ = \ $$
$$ \ = \ \begin{bmatrix} 1+1 & 2+2 & 3+3 \\ 4+3 & 5+2 & 6+1 \end{bmatrix} \ = \ $$
$$ \ = \ \begin{bmatrix} 2 & 4 & 6 \\ 7 & 7 & 7 \end{bmatrix} $$
2nd [ [ 1 , 2 , 3 ]
[ 4 , 5 , 6 ] ]
+ [ [ 1 , 2 , 3 ]
[ 3 , 2 , 1 ] ] =
Παράδειγμα αφαίρεσης πινάκων:
$$ \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \end{bmatrix} \ - \ \begin{bmatrix} 3 & 2 & 1 \\ 1 & 2 & 3 \end{bmatrix} \ = \ $$
$$\ = \ \begin{bmatrix} 1-3 & 2-2 & 3-1 \\ 4-1 & 5-2 & 6-3 \end{bmatrix} \ = \ $$
$$\ = \ \begin{bmatrix} -2 & 0 & 2 \\ 3 & 3 & 3 \end{bmatrix} $$
2nd [ [ 1 , 2 , 3 ]
[ 4 , 5 , 6 ] ]
- [ [ 3 , 2 , 1 ]
[ 1 , 2 , 3 ] ] =
Πολλαπλασιασμός Πινάκων
Ο πολλαπλασιασμός δύο πινάκων είναι η πράξη υπολογισμού ενός νέου πίνακα που ονομάζεται γινόμενο πινάκων. Κάθε στοιχείο αυτού του πίνακα είναι ίσο με το άθροισμα των γινομένων των στοιχείων στην αντίστοιχη γραμμή του πρώτου πίνακα και στη στήλη του δεύτερου πίνακα. Για τον πολλαπλασιασμό πινάκων απαιτείται ο αριθμός των στηλών στον πρώτο πίνακα να είναι ίσος με τον αριθμό των γραμμών στο δεύτερο πίνακα.
Παράδειγμα πολλαπλασιασμού πινάκων:
$$ \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \end{bmatrix} \ \cdot \ \begin{bmatrix} 7 & 8 \\ 9 & 10 \\ 11 & 12 \end{bmatrix} \ = \ $$
$$ \ = \ \begin{bmatrix} 1 \cdot 7 + 2 \cdot 9 + 3 \cdot 11 & 1 \cdot 8 + 2 \cdot 10 + 3 \cdot 12 \\ 4 \cdot 7 + 5 \cdot 9 + 6 \cdot 11 & 4 \cdot 8 + 5 \cdot 10 + 6 \cdot 12 \end{bmatrix} \ = \ $$
$$\ = \ \begin{bmatrix} 58 & 64 \\ 139 & 154 \end{bmatrix} $$
2nd [ [ 1 , 2 , 3 ]
[ 4 , 5 , 6 ] ]
2nd × 2nd [ [ 7 , 8 ]
[ 9 , 1 0 ]
[ 1 1 , 1 2 ] ] =
Ορίσμα Πίνακα
Το ορίσμα ενός πίνακα ($det(A)$ ή $|A|$) είναι ένα μέγεθος που χαρακτηρίζει τις ιδιότητες ενός τετραγωνικού πίνακα.
Παράδειγμα υπολογισμού οριζσμάτων (det πρέπει να εισαχθεί στο κενό πεδίο κάτω από την οθόνη του υπολογιστή, χρησιμοποιώντας το πληκτρολόγιο του υπολογιστή σας):
$$ |A| = \begin{vmatrix} 1 & -2 & 3 \\ 4 & 0 & 6 \\ -7 & 8 & 9 \end{vmatrix} = 204 $$
d e t ( 2nd [
[ 1 , - 2 , 3 ]
[ 4 , 0 , 6 ]
[ - 7 , 8 , 9 ]
] 2nd ) =
Μεταφορά Πίνακα
Η μεταφορά είναι η πράξη κατά την οποία οι γραμμές και οι στήλες του αρχικού πίνακα αλλάζουν θέση, δηλαδή οι γραμμές γίνονται στήλες και οι στήλες γραμμές. Εάν $A$ είναι ο αρχικός πίνακας, τότε ο μεταφερόμενος πίνακας συμβολίζεται ως $A^T$. Εάν ο αρχικός πίνακας $A$ έχει μέγεθος $m \times n$, τότε ο μεταφερόμενος πίνακας $A^T$ θα έχει μέγεθος $n \times m$.
$$ A = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \dots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \dots & a_{mn} \end{bmatrix} $$
Για να λάβετε τον μεταφερόμενο πίνακα $A^T$, πρέπει να αλλάξετε τις θέσεις των γραμμών και των στηλών του αρχικού πίνακα $A$. Για να το κάνετε αυτό, ακολουθήστε τα εξής βήματα.
Πάρτε τα στοιχεία της πρώτης γραμμής από $a_{11}$ έως $a_{1n}$ και γράψτε τα ως την πρώτη στήλη του μεταφερόμενου πίνακα $A^T$:
$$ A^T = \begin{bmatrix} a_{11} \\ a_{12} \\ \vdots \\ a_{1n} \end{bmatrix} $$
Πάρτε τα στοιχεία της δεύτερης γραμμής από $a_{21}$ έως $a_{2n}$ και γράψτε τα ως τη δεύτερη στήλη του $A^T$:
$$ A^T = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{21} \\ a_{12} & a_{22} \\ \vdots & \vdots \\ a_{1n} & a_{2n} \end{bmatrix} $$
Επαναλάβετε αυτό το βήμα για όλες τις γραμμές του πίνακα $A$, μέχρι να έχουν γραφτεί ως στήλες του $A^T$:
$$ A^T = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{21} & \dots & a_{m1} \\ a_{12} & a_{22} & \dots & a_{m2} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{1n} & a_{2n} & \dots & a_{mn} \end{bmatrix} $$
Με αυτόν τον τρόπο, τα στοιχεία $a^T_{ij}$ του μεταφερόμενου πίνακα $A^T$ αντιστοιχούν στα στοιχεία $a_{ji}$ του αρχικού πίνακα $A$.
Παράδειγμα μεταφοράς πίνακα:
$$ A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \\ 5 & 6 \end{bmatrix} \ \ A^T = \begin{bmatrix} 1 & 3 & 5 \\ 2 & 4 & 6 \end{bmatrix} $$