Calculadora de ecuaciones
Con esta calculadora podrás resolver ecuaciones lineales, cuadráticas o cúbicas en línea. Puedes encontrar ejemplos de cálculos en la sección correspondiente.
Resolución de ecuaciones
Una ecuación es una igualdad con una variable (o incógnita). Una ecuación con una sola variable $x$ generalmente se escribe de la siguiente forma: $f(x) = g(x)$.
La solución (o raíz) de una ecuación es el valor de la variable que convierte la ecuación en una igualdad numérica verdadera. Resolver una ecuación significa encontrar todas sus soluciones o demostrar que no las tiene.
Cómo resolver una ecuación en la calculadora: primero, introduce la parte de la ecuación antes del signo =, presiona el botón x=y, introduce la parte restante de la ecuación, presiona el botón = para realizar los cálculos. Por ejemplo, para la ecuación $2x - 4 = 0$, la raíz es $x = 2$. Así es como se obtuvo este resultado con la calculadora de ecuaciones:
$$2x - 4 = 0 \\ \Downarrow \\ x = 2$$
2 x - 4 x=y 0 =
Ecuaciones lineales
Una ecuación lineal con una incógnita es una ecuación de la siguiente forma:
$$ax + b = 0,$$
donde
- $x$ es la incógnita,
- $a$ es el coeficiente de la incógnita,
- $b$ es el término independiente de la ecuación.
Las ecuaciones lineales son el tipo más simple de ecuaciones algebraicas, cuya solución se reduce a realizar operaciones aritméticas simples.
Ejemplos de resolución:
$$4x - 16 = 0 \\ \Downarrow \\ x = 4$$
4 x - 1 6 x=y 0 =
$$3x + 2 = 6 - x \\ \Downarrow \\ x = 1$$
3 x + 2 x=y 6 - x =
Ecuaciones cuadráticas
Una ecuación cuadrática es una ecuación de la siguiente forma:
$$ax^2 + bx + c = 0 \ \ \ (a \ne 0)$$
Resolución de ecuaciones cuadráticas en la calculadora:
$$4x^2 - 6x + 2 = 0 \\ \Downarrow \\ x_1 = 1, \ x_2 = 0.5$$
4 x x2 - 6 x
+ 2 x=y 0 =
$$x^2 - 3x - 4 = 0 \\ \Downarrow \\ x_1 = 4, \ x_2 = -1$$
x x2 - 3 x - 4 x=y 0 =
$$x^2 - 4x + 4 = 0 \\ \Downarrow \\ x_1 = x_2 = x = 2$$
x x2 - 4 x + 4 x=y 0 =
Relaciones entre los coeficientes
Existen ciertas ecuaciones cuadráticas cuyos coeficientes se relacionan de tal manera que permiten resolver estas ecuaciones de manera mucho más sencilla.
$$a + b + c = 0 \\ \Downarrow \\ x_1 = 1, \ x_2 = \frac {c} {a}$$
$$a + c = b \\ \Downarrow \\ x_1 = -1, \ x_2 = - \frac {c} {a}$$
Las raíces de estas ecuaciones también se pueden encontrar con una calculadora normal.
Discriminante
El discriminante se utiliza para encontrar las raíces de una ecuación cuadrática. La fórmula para calcular el discriminante es:
$$D = b^2 - 4ac$$
La fórmula para calcular las raíces utilizando el discriminante:
$$x_{1,2} = \frac {-b \pm \sqrt D} {2a}$$
Si $D > 0$, la ecuación tiene dos raíces distintas. Por ejemplo:
$$4x^2 - 6x + 2 = 0 \\ \Downarrow \\ a = 4, \ b = -6, \ c = 2 \\ \Downarrow \\ D = (-6)^2 - 4 × 4 × 2 = 4 \\ \Downarrow \\ x_{1,2} = \frac {-(-6) \pm \sqrt 4} {2 × 4} \\ \Downarrow \\ x_1 = \frac {6 + 2} {8} = 1, \ x_2 = \frac {6 - 2} {8} = 0.5$$
Si $D = 0$, la ecuación tiene una sola raíz (o dos raíces iguales). Por ejemplo:
$$x^2 - 4x + 4 = 0 \\ \Downarrow \\ a = 1, \ b = -4, \ c = 4 \\ \Downarrow \\ D = (-4)^2 - 4 × 1 × 4 = 0 \\ \Downarrow \\ x_{1,2} = \frac {-(-4) \pm \sqrt 0} {2 × 1} \\ \Downarrow \\ x_1 = x_2 = x = \frac {4 \pm 0} {2} = 2$$
Si $D < 0$, la ecuación no tiene raíces en el conjunto de los números reales:
$$x^2 + 4x + 5 = 0 \\ \Downarrow \\ a = 1, \ b = 4, \ c = 5 \\ \Downarrow \\ D = 6^2 - 4 × 1 × 5 = -4 \\ \Downarrow \\ x_{1,2} = \frac {-4 \pm \sqrt {-4}} {2 × 1} \\ \Downarrow \\ x_1 = \frac {-4 + 2i} {2} = -2 + i, \\ x_2 = \frac {-4 - 2i} {2} = -2 - i$$
Teorema de Vieta
El teorema de Vieta establece simples relaciones algebraicas (fórmulas de Vieta) entre las raíces $x_1, x_2$ de una ecuación cuadrática y sus coeficientes $a, b, c$. Utilizando estas fórmulas, se pueden encontrar las raíces si se conocen los coeficientes, o calcular los coeficientes si se conocen las raíces.
Fórmulas de Vieta:
$$\begin {cases} x_1 + x_2 = - \dfrac {b} {a} \\ x_1 x_2 = \dfrac {c} {a} \end {cases}$$
Ecuaciones bicuadráticas
Una ecuación bicuadrática es una ecuación de la siguiente forma:
$$ax^4 + bx^2 + c = 0 \ \ \ (a \ne 0)$$
Si se realiza la sustitución $x^2$ por $y \ (y \ge 0)$, se obtiene una ecuación cuadrática para la cual se pueden encontrar las raíces $y_1, y_2$. Las raíces de la ecuación bicuadrática se encuentran de la siguiente manera:
$$x_{1,2} = \pm \sqrt {y_1}, \ \ \ x_{3,4} = \pm \sqrt {y_2}$$
Ecuaciones cúbicas
Una ecuación cúbica es una ecuación de la siguiente forma:
$$ax^3 + bx^2 + cx + d = 0 \ \ \ (a \ne 0)$$
Ejemplo de resolución:
$$x^3 - 6x^2 - 31x + 120 = 0 \\ \Downarrow \\ x_1 = -5, x_2 = 3, x_3 = 8$$
x x3 - 6 x x2 - 3 1 x
+ 1 2 0 x=y 0 =
Si se divide la ecuación cúbica por $a$ y se sustituye $x$ por $y - \frac {b} {3a}$, se obtiene la siguiente forma más simple:
$$y^3 + py + q = 0,$$
donde
$y = x + \frac {b} {3a}$,
$p = \frac {c} {a} - \frac {b^2} {3a^2} = \frac {3ac - b^2} {3a^2}$,
$q = \frac {2b^3} {27a^3} - \frac {bc} {3a^2} + \frac {d} {a} = \frac {2b^3 - 9abc + 27a^2d} {27a^3}$.
Fórmula de Cardano
Si una ecuación cúbica tiene la siguiente forma:
$$y^3 + py + q = 0,$$
entonces se puede aplicar la fórmula de Cardano para encontrar las raíces de esta ecuación:
$$x = \sqrt[3] {- \frac {q} {2} + \sqrt {\frac {q^2} {4} + \frac {p^3} {27}}} + \\ + \ \sqrt[3] {- \frac {q} {2} - \sqrt {\frac {q^2} {4} + \frac {p^3} {27}}}$$