Calculadora de integrales
Con esta calculadora, podrás evaluar integrales indefinidas o definidas. Los ejemplos de cálculo se pueden encontrar en la sección correspondiente.
Algunas integrales básicas se pueden encontrar directamente en la tabla de antiderivadas en lugar de calcularlas.
Antiderivada
La antiderivada de una función $f(x)$ es una función $F(x)$ cuya derivada es igual a $f(x)$, es decir, $F^{\prime}(x) = f(x)$. Encontrar la antiderivada es la operación inversa a la diferenciación.
Si $F(x)$ es una antiderivada de $f(x)$, entonces la función $F(x) + C$, donde $C$ es una constante arbitraria, también es una antiderivada de $f(x)$.
Integral indefinida
La integral indefinida de una función $f(x)$ es el conjunto de todas sus antiderivadas. Se denota de la siguiente manera:
$$\int f(x) dx = F(x) + C,$$
donde
- $\int$ es el símbolo de la integral
- $f(x)$ es la función integranda
- $dx$ es el elemento de integración
- $F(x)$ es la antiderivada
- $C$ es la constante de integración
La operación de encontrar la integral se llama integración.
Propiedades
Las principales propiedades de la integral indefinida son:
$$\int a \cdot f(x) dx = \\ = a \cdot \int f(x) dx \ \ \ (a \ne 0)$$
$$\int (f(x) \pm g(x)) dx = \\ = \int f(x) dx \pm \int g(x) dx$$
Ejemplos de cálculo
A continuación, se muestran ejemplos de cálculo de integrales indefinidas. Para realizar estos cálculos en la calculadora de integrales, es necesario presionar secuencialmente los botones indicados debajo de cada ejemplo. Nota: ingrese int en el campo vacío debajo de la pantalla de la calculadora utilizando el teclado de su computadora.
$$\int x^3 dx = \frac {x^4} {4} + C$$
i n t ( x xy 3 ) =
$$\int \sin 7x dx = - \frac {\cos 7x} {7} + C$$
i n t ( sin 7 x ) =
$$\int x^3 y dy = \frac {x^3 y^2} {2} + C$$
i n t ( x x^3 y , y ) =
Tabla de integrales
Tabla de integrales indefinidas básicas y sus correspondientes antiderivadas:
| $\int f(x) dx$ | $F(x) + C$ |
|---|---|
| $$\int 0 \cdot dx$$ | $$C$$ |
| $$\int dx$$ | $$x + C$$ |
| $$\int x^n dx$$ | $$\frac {x^{n + 1}} {n + 1} + C \ \ \ (n \ne -1)$$ |
| $$\int \frac {1} {x} dx$$ | $$\ln | x | + C$$ |
| $$\int e^x dx$$ | $$e^x + C$$ |
| $$\int a^x dx$$ | $$\frac {a^x} {\ln a} + C \ \ \ (a > 0, a \ne 1)$$ |
| $$\int \cos x dx$$ | $$\sin x + C$$ |
| $$\int \sin x dx$$ | $$- \cos x + C$$ |
| $$\int \frac {dx} {\cos^2 x}$$ | $$\tg x + C$$ |
| $$\int \frac {dx} {\sin^2 x}$$ | $$- \ctg x + C$$ |
| $$\int \frac {dx} {\sqrt {1 - x^2}}$$ | $$\begin{gathered} \arcsin x + C_1 = \\ = - \arccos x + C_2 \\ (C_2 = \frac {\pi} {2} + C_1) \end{gathered}$$ |
| $$\int \frac {dx} {1 + x^2}$$ | $$\arctg x + C$$ |
| $$\int \ch x dx$$ | $$\sh x + C$$ |
| $$\int \sh x dx$$ | $$\ch x + C$$ |
Integral definida
Si $F(x)$ es una antiderivada de la función $f(x)$, que está definida y es continua en el intervalo $[a;b]$, entonces la integral definida se calcula según la fórmula:
$$\int _a^b f(x) dx = F(x) \mid _a^b = F(b) - F(a)$$
Propiedades
Las principales propiedades de la integral definida son:
$$\int _a^a f(x) dx = 0$$
$$\int _a^b f(x) dx = - \int _b^a f(x) dx$$
$$\int _a^b f(x) dx = \int _a^c f(x) dx + \\ + \int _c^b f(x) dx \ \ \ (c \in [a;b])$$
Ejemplos de cálculo
A continuación, se muestran ejemplos de cálculo de integrales definidas. Para realizar estos cálculos en la calculadora, es necesario presionar secuencialmente los botones indicados debajo de cada ejemplo. Nota: ingrese int en el campo vacío debajo de la pantalla de la calculadora utilizando el teclado de su computadora.
$$\int _1^3 (5 + x) dx = 14$$
i n t ( 5 + x ,
x 2nd var 1 . . 3 2nd ) =
$$\int _5^8 x^2 dx = 129$$
i n t ( x x2 ,
x 2nd var 5 . . 8 2nd ) =