ماشین حساب معادلات
با استفاده از این ماشین حساب، می توانید یک معادله خطی، درجه دوم یا درجه سوم را به صورت آنلاین حل کنید. نمونه های محاسبات را می توان در بخش مربوطه یافت.
حل معادلات
معادله یک تساوی با متغیر (یا نامعلوم) است. یک معادله با یک متغیر $x$ به طور معمول به شکل زیر نوشته می شود: $f(x) = g(x)$.
راه حل (یا ریشه) یک معادله، مقداری از متغیر است که در آن معادله به یک تساوی عددی درست تبدیل می شود. حل یک معادله به این معنی است که تمام راه حل های آن را پیدا کنید یا ثابت کنید که راه حلی وجود ندارد.
چگونگی حل معادله با ماشین حساب: ابتدا بخشی از معادله را قبل از علامت = وارد کنید، دکمه x=y را فشار دهید، بخش باقی مانده معادله را وارد کنید، دکمه = را برای انجام محاسبات فشار دهید. به عنوان مثال، برای معادله $2x - 4 = 0$ ریشه آن $x = 2$ است. اینجا نحوه دستیابی به این نتیجه با استفاده از ماشین حساب معادلات آمده است:
$$2x - 4 = 0 \\ \Downarrow \\ x = 2$$
2 x - 4 x=y 0 =
معادلات خطی
یک معادله خطی با یک نامعلوم، معادله ای به شکل زیر است:
$$ax + b = 0,$$
که در آن
- $x$ نامعلوم است،
- $a$ ضریب نامعلوم است،
- $b$ عدد ثابت معادله است.
معادلات خطی ساده ترین نوع معادلات جبری هستند که حل آنها به انجام عملیات حسابی ساده محدود می شود.
نمونه هایی از حل:
$$4x - 16 = 0 \\ \Downarrow \\ x = 4$$
4 x - 1 6 x=y 0 =
$$3x + 2 = 6 - x \\ \Downarrow \\ x = 1$$
3 x + 2 x=y 6 - x =
معادلات درجه دوم
معادله درجه دوم، معادله ای به شکل زیر است:
$$ax^2 + bx + c = 0 \ \ \ (a \ne 0)$$
حل معادلات درجه دوم با ماشین حساب:
$$4x^2 - 6x + 2 = 0 \\ \Downarrow \\ x_1 = 1, \ x_2 = 0.5$$
4 x x2 - 6 x
+ 2 x=y 0 =
$$x^2 - 3x - 4 = 0 \\ \Downarrow \\ x_1 = 4, \ x_2 = -1$$
x x2 - 3 x - 4 x=y 0 =
$$x^2 - 4x + 4 = 0 \\ \Downarrow \\ x_1 = x_2 = x = 2$$
x x2 - 4 x + 4 x=y 0 =
نسبت های ضرایب
برخی از معادلات درجه دوم وجود دارند که ضرایب آنها در نسبت هایی قرار دارند که امکان حل آسان تر آنها را فراهم می کند.
$$a + b + c = 0 \\ \Downarrow \\ x_1 = 1, \ x_2 = \frac {c} {a}$$
$$a + c = b \\ \Downarrow \\ x_1 = -1, \ x_2 = - \frac {c} {a}$$
ریشه های این معادلات می توانند با استفاده از یک ماشین حساب معمولی نیز پیدا شوند.
تبعیض
تبعیض برای یافتن ریشه های معادله درجه دوم استفاده می شود. فرمول محاسبه تبعیض:
$$D = b^2 - 4ac$$
فرمول محاسبه ریشه ها با استفاده از تبعیض:
$$x_{1,2} = \frac {-b \pm \sqrt D} {2a}$$
اگر $D > 0$، آنگاه معادله دو ریشه متمایز دارد. به عنوان مثال:
$$4x^2 - 6x + 2 = 0 \\ \Downarrow \\ a = 4, \ b = -6, \ c = 2 \\ \Downarrow \\ D = (-6)^2 - 4 × 4 × 2 = 4 \\ \Downarrow \\ x_{1,2} = \frac {-(-6) \pm \sqrt 4} {2 × 4} \\ \Downarrow \\ x_1 = \frac {6 + 2} {8} = 1, \ x_2 = \frac {6 - 2} {8} = 0.5$$
اگر $D = 0$، آنگاه معادله یک ریشه (یا دو ریشه یکسان) دارد. به عنوان مثال:
$$x^2 - 4x + 4 = 0 \\ \Downarrow \\ a = 1, \ b = -4, \ c = 4 \\ \Downarrow \\ D = (-4)^2 - 4 × 1 × 4 = 0 \\ \Downarrow \\ x_{1,2} = \frac {-(-4) \pm \sqrt 0} {2 × 1} \\ \Downarrow \\ x_1 = x_2 = x = \frac {4 \pm 0} {2} = 2$$
اگر $D < 0$، آنگاه معادله هیچ ریشه ای بر روی مجموعه اعداد حقیقی ندارد:
$$x^2 + 4x + 5 = 0 \\ \Downarrow \\ a = 1, \ b = 4, \ c = 5 \\ \Downarrow \\ D = 6^2 - 4 × 1 × 5 = -4 \\ \Downarrow \\ x_{1,2} = \frac {-4 \pm \sqrt {-4}} {2 × 1} \\ \Downarrow \\ x_1 = \frac {-4 + 2i} {2} = -2 + i, \\ x_2 = \frac {-4 - 2i} {2} = -2 - i$$
قضیه ویت
قضیه ویت روابط جبری ساده ای (فرمول های ویت) را بین ریشه های یک معادله درجه دوم $x_1، x_2$ و ضرایب آن $a، b، c$ برقرار می کند. با استفاده از این فرمول ها می توان ریشه ها را اگر ضرایب معلوم باشند پیدا کرد، یا ضرایب را اگر ریشه ها معلوم باشند محاسبه کرد.
فرمول های ویت:
$$\begin {cases} x_1 + x_2 = - \dfrac {b} {a} \\ x_1 x_2 = \dfrac {c} {a} \end {cases}$$
معادلات بی کوادراتیک
معادله بی کوادراتیک، معادله ای به شکل زیر است:
$$ax^4 + bx^2 + c = 0 \ \ \ (a \ne 0)$$
اگر $x^2$ را با $y \ (y \ge 0)$ جایگزین کنیم، آنگاه یک معادله درجه دوم به دست می آید که می توان ریشه های آن $y_1، y_2$ را پیدا کرد. ریشه های معادله بی کوادراتیک به شکل زیر محاسبه می شوند:
$$x_{1,2} = \pm \sqrt {y_1}, \ \ \ x_{3,4} = \pm \sqrt {y_2}$$
معادلات درجه سوم
معادله درجه سوم، معادله ای به شکل زیر است:
$$ax^3 + bx^2 + cx + d = 0 \ \ \ (a \ne 0)$$
مثال حل:
$$x^3 - 6x^2 - 31x + 120 = 0 \\ \Downarrow \\ x_1 = -5, x_2 = 3, x_3 = 8$$
x x3 - 6 x x2 - 3 1 x
+ 1 2 0 x=y 0 =
اگر معادله درجه سوم را بر $a$ تقسیم کنیم و $x$ را با $y - \frac {b} {3a}$ جایگزین کنیم، آنگاه به شکل ساده تری درمی آید:
$$y^3 + py + q = 0,$$
که در آن
$y = x + \frac {b} {3a}$,
$p = \frac {c} {a} - \frac {b^2} {3a^2} = \frac {3ac - b^2} {3a^2}$,
$q = \frac {2b^3} {27a^3} - \frac {bc} {3a^2} + \frac {d} {a} = \frac {2b^3 - 9abc + 27a^2d} {27a^3}$.
فرمول کاردانو
اگر معادله درجه سوم به شکل زیر باشد:
$$y^3 + py + q = 0,$$
آنگاه برای یافتن ریشه های این معادله می توان از فرمول کاردانو استفاده کرد:
$$x = \sqrt[3] {- \frac {q} {2} + \sqrt {\frac {q^2} {4} + \frac {p^3} {27}}} + \\ + \ \sqrt[3] {- \frac {q} {2} - \sqrt {\frac {q^2} {4} + \frac {p^3} {27}}}$$