ماشین حساب انتگرال
با این ماشین حساب می‌توانید انتگرال نامعین یا معین را محاسبه کنید. نمونه‌های محاسبات را می‌توانید در بخش مربوطه پیدا کنید.
برخی از انتگرال‌های اصلی را می‌توان بدون محاسبه کردن، مشتق اصلی آن‌ها را مستقیماً در جدول پیدا کرد.
مشتق اصلی
مشتق اصلی برای تابع $f(x)$، تابعی است که مشتق آن برابر با $f(x)$ است، یعنی $F^{\prime}(x) = f(x)$. یافتن مشتق اصلی عملیاتی معکوس با مشتق‌گیری است.
اگر $F(x)$ مشتق اصلی برای $f(x)$ باشد، آنگاه تابع $F(x) + C$ که $C$ ثابت دلخواه است، نیز مشتق اصلی برای $f(x)$ است.
انتگرال نامعین
انتگرال نامعین برای تابع $f(x)$ مجموعه تمامی مشتق‌های اصلی این تابع است. این موضوع به این صورت نشان داده می‌شود:
$$\int f(x) dx = F(x) + C,$$
که در آن:
- $\int$ - علامت انتگرال
- $f(x)$ - تابع زیر انتگرال
- $dx$ - عنصر انتگرال‌گیری
- $F(x)$ - مشتق اصلی
- $C$ - ثابت انتگرال‌گیری
عملیات یافتن انتگرال، انتگرال‌گیری نامیده می‌شود.
خواص
خواص اصلی انتگرال نامعین:
$$\int a \cdot f(x) dx = \\ = a \cdot \int f(x) dx \ \ \ (a \ne 0)$$
$$\int (f(x) \pm g(x)) dx = \\ = \int f(x) dx \pm \int g(x) dx$$
نمونه‌های محاسبه
در زیر نمونه‌هایی از محاسبه انتگرال‌های نامعین آورده شده است. برای انجام این محاسبات در ماشین حساب انتگرال، باید دکمه‌های نشان داده شده در زیر هر مثال را به ترتیب فشار دهید. توجه: int را در فیلد خالی زیر صفحه ماشین حساب با استفاده از صفحه کلید رایانه خود وارد کنید.
$$\int x^3 dx = \frac {x^4} {4} + C$$
i n t ( x xy 3 ) =
$$\int \sin 7x dx = - \frac {\cos 7x} {7} + C$$
i n t ( sin 7 x ) =
$$\int x^3 y dy = \frac {x^3 y^2} {2} + C$$
i n t ( x x^3 y , y ) =
جدول انتگرال‌ها
جدول انتگرال‌های نامعین اصلی و مشتق اصلی متناظر با آن‌ها:
| $\int f(x) dx$ | $F(x) + C$ |
|---|---|
| $$\int 0 \cdot dx$$ | $$C$$ |
| $$\int dx$$ | $$x + C$$ |
| $$\int x^n dx$$ | $$\frac {x^{n + 1}} {n + 1} + C \ \ \ (n \ne -1)$$ |
| $$\int \frac {1} {x} dx$$ | $$\ln | x | + C$$ |
| $$\int e^x dx$$ | $$e^x + C$$ |
| $$\int a^x dx$$ | $$\frac {a^x} {\ln a} + C \ \ \ (a > 0, a \ne 1)$$ |
| $$\int \cos x dx$$ | $$\sin x + C$$ |
| $$\int \sin x dx$$ | $$- \cos x + C$$ |
| $$\int \frac {dx} {\cos^2 x}$$ | $$\tg x + C$$ |
| $$\int \frac {dx} {\sin^2 x}$$ | $$- \ctg x + C$$ |
| $$\int \frac {dx} {\sqrt {1 - x^2}}$$ | $$\begin{gathered} \arcsin x + C_1 = \\ = - \arccos x + C_2 \\ (C_2 = \frac {\pi} {2} + C_1) \end{gathered}$$ |
| $$\int \frac {dx} {1 + x^2}$$ | $$\arctg x + C$$ |
| $$\int \ch x dx$$ | $$\sh x + C$$ |
| $$\int \sh x dx$$ | $$\ch x + C$$ |
انتگرال معین
اگر $F(x)$ مشتق اصلی برای تابع $f(x)$ باشد که در بازه $[a;b]$ تعریف شده و پیوسته است، آنگاه انتگرال معین از طریق فرمول زیر محاسبه می‌شود:
$$\int _a^b f(x) dx = F(x) \mid _a^b = F(b) - F(a)$$
خواص
خواص اصلی انتگرال معین:
$$\int _a^a f(x) dx = 0$$
$$\int _a^b f(x) dx = - \int _b^a f(x) dx$$
$$\int _a^b f(x) dx = \int _a^c f(x) dx + \\ + \int _c^b f(x) dx \ \ \ (c \in [a;b])$$
نمونه‌های محاسبه
در زیر نمونه‌هایی از محاسبه انتگرال‌های معین آورده شده است. برای انجام این محاسبات در ماشین حساب، باید دکمه‌های نشان داده شده در زیر هر مثال را به ترتیب فشار دهید. توجه: int را در فیلد خالی زیر صفحه ماشین حساب با استفاده از صفحه کلید رایانه خود وارد کنید.
$$\int _1^3 (5 + x) dx = 14$$
i n t ( 5 + x ,
x 2nd var 1 . . 3 2nd ) =
$$\int _5^8 x^2 dx = 129$$
i n t ( x x2 ,
x 2nd var 5 . . 8 2nd ) =