ماشین حساب ماتریس
با استفاده از این ماشین حساب می توانید جمع، تفریق یا ضرب ماتریس ها را انجام دهید، همچنین دترمینان ماتریس را محاسبه کنید. برای انجام محاسبات مورد نیاز، باید به ترتیب روی دکمه های مشخص شده زیر نمونه در بخش مربوطه کلیک کنید.
ترانهاده کردن یک ماتریس را می توان به راحتی حتی بدون ماشین حساب انجام داد، کافی است از دستورالعمل های مفصل استفاده کنید.
ماتریس در ریاضیات چیست
ماتریس یک جدول مستطیلی از عناصر (اعداد، نمادها یا عبارات) است که از $m$ سطر و $n$ ستون تشکیل شده است. هر عنصر ماتریس در تقاطع یک سطر و ستون خاص قرار می گیرد.
ماتریس معمولاً با یک حرف بزرگ مانند $A$ نشان داده می شود. عناصر جداگانه ماتریس با استفاده از اندیس ها نشان داده می شوند، مثلاً $a_{12}$ عنصری است که در سطر اول و ستون دوم قرار دارد.
$$ A = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \dots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \dots & a_{mn} \end{bmatrix} $$
اندازه یک ماتریس به صورت $m \times n$ نشان داده می شود. به عنوان مثال، یک ماتریس با اندازه $3 \times 4$ دارای 3 سطر و 4 ستون خواهد بود. تعداد عناصر در یک ماتریس را می توان با ضرب $m$ در $n$ در یک ماشین حساب معمولی به دست آورد: $3 \cdot 4 = 12$.
جمع و تفریق ماتریس ها
جمع و تفریق ماتریس ها عملیاتی هستند که در آنها عناصر متناظر ماتریس ها با هم جمع یا تفریق می شوند. برای این کار لازم است ماتریس ها اندازه یکسانی داشته باشند، یعنی تعداد سطرها و ستون های آنها یکسان باشد.
نمونه ای از جمع ماتریس ها:
$$ \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \end{bmatrix} \ + \ \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 3 & 2 & 1 \end{bmatrix} \ = \ $$
$$ \ = \ \begin{bmatrix} 1+1 & 2+2 & 3+3 \\ 4+3 & 5+2 & 6+1 \end{bmatrix} \ = \ $$
$$ \ = \ \begin{bmatrix} 2 & 4 & 6 \\ 7 & 7 & 7 \end{bmatrix} $$
2nd [ [ 1 , 2 , 3 ]
[ 4 , 5 , 6 ] ]
+ [ [ 1 , 2 , 3 ]
[ 3 , 2 , 1 ] ] =
نمونه ای از تفریق ماتریس ها:
$$ \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \end{bmatrix} \ - \ \begin{bmatrix} 3 & 2 & 1 \\ 1 & 2 & 3 \end{bmatrix} \ = \ $$
$$\ = \ \begin{bmatrix} 1-3 & 2-2 & 3-1 \\ 4-1 & 5-2 & 6-3 \end{bmatrix} \ = \ $$
$$\ = \ \begin{bmatrix} -2 & 0 & 2 \\ 3 & 3 & 3 \end{bmatrix} $$
2nd [ [ 1 , 2 , 3 ]
[ 4 , 5 , 6 ] ]
- [ [ 3 , 2 , 1 ]
[ 1 , 2 , 3 ] ] =
ضرب ماتریس ها
ضرب دو ماتریس عملیاتی است که در آن یک ماتریس جدید به نام حاصلضرب ماتریس ها محاسبه می شود. هر عنصر از این ماتریس برابر است با مجموع حاصلضرب عناصر در سطر متناظر ماتریس اول و ستون متناظر ماتریس دوم. برای ضرب ماتریس ها لازم است که تعداد ستون های ماتریس اول با تعداد سطرهای ماتریس دوم برابر باشد.
نمونه ای از ضرب ماتریس ها:
$$ \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \end{bmatrix} \ \cdot \ \begin{bmatrix} 7 & 8 \\ 9 & 10 \\ 11 & 12 \end{bmatrix} \ = \ $$
$$ \ = \ \begin{bmatrix} 1 \cdot 7 + 2 \cdot 9 + 3 \cdot 11 & 1 \cdot 8 + 2 \cdot 10 + 3 \cdot 12 \\ 4 \cdot 7 + 5 \cdot 9 + 6 \cdot 11 & 4 \cdot 8 + 5 \cdot 10 + 6 \cdot 12 \end{bmatrix} \ = \ $$
$$\ = \ \begin{bmatrix} 58 & 64 \\ 139 & 154 \end{bmatrix} $$
2nd [ [ 1 , 2 , 3 ]
[ 4 , 5 , 6 ] ]
2nd × 2nd [ [ 7 , 8 ]
[ 9 , 1 0 ]
[ 1 1 , 1 2 ] ] =
دترمینان ماتریس
دترمینان ماتریس ($det(A)$ یا $|A|$) یک کمیت است که خواص ماتریس مربعی را مشخص می کند.
نمونه ای از محاسبه دترمینان (باید det را در فیلد خالی زیر صفحه ماشین حساب با استفاده از صفحه کلید کامپیوتر خود وارد کنید):
$$ |A| = \begin{vmatrix} 1 & -2 & 3 \\ 4 & 0 & 6 \\ -7 & 8 & 9 \end{vmatrix} = 204 $$
d e t ( 2nd [
[ 1 , - 2 , 3 ]
[ 4 , 0 , 6 ]
[ - 7 , 8 , 9 ]
] 2nd ) =
ترانهاده ماتریس
ترانهاده کردن عملیاتی است که در آن سطرها و ستون های ماتریس اولیه جابجا می شوند، یعنی سطرها به ستون ها و ستون ها به سطرها تبدیل می شوند. اگر $A$ ماتریس اولیه باشد، ماتریس ترانهاده شده با $A^T$ نشان داده می شود. اگر ماتریس اولیه $A$ اندازه $m \times n$ داشته باشد، آنگاه ماتریس ترانهاده $A^T$ اندازه $n \times m$ خواهد داشت.
$$ A = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \dots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \dots & a_{mn} \end{bmatrix} $$
برای به دست آوردن ماتریس ترانهاده $A^T$، باید سطرها و ستون های ماتریس اولیه $A$ را جابجا کنید. برای این کار باید مراحل زیر را انجام دهید.
عناصر سطر اول از $a_{11}$ تا $a_{1n}$ را بگیرید و به عنوان ستون اول ماتریس ترانهاده $A^T$ بنویسید:
$$ A^T = \begin{bmatrix} a_{11} \\ a_{12} \\ \vdots \\ a_{1n} \end{bmatrix} $$
عناصر سطر دوم از $a_{21}$ تا $a_{2n}$ را بگیرید و به عنوان ستون دوم $A^T$ بنویسید:
$$ A^T = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{21} \\ a_{12} & a_{22} \\ \vdots & \vdots \\ a_{1n} & a_{2n} \end{bmatrix} $$
این مرحله را برای تمام سطرهای ماتریس $A$ تکرار کنید تا اینکه همه آنها به عنوان ستون های $A^T$ نوشته شوند:
$$ A^T = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{21} & \dots & a_{m1} \\ a_{12} & a_{22} & \dots & a_{m2} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{1n} & a_{2n} & \dots & a_{mn} \end{bmatrix} $$
بنابراین، عناصر $a^T_{ij}$ ماتریس تعویض شده $A^T$ با عناصر $a_{ji}$ ماتریس اصلی $A$ مطابقت دارند.
مثال تعویض ماتریس:
$$ A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \\ 5 & 6 \end{bmatrix} \ \ A^T = \begin{bmatrix} 1 & 3 & 5 \\ 2 & 4 & 6 \end{bmatrix} $$