Yhtälöiden laskin
Tämän laskimen avulla voit ratkaista lineaarisen, neliö- tai kuutioyhtälön verkossa. Laskuesimerkkejä löydät vastaavasta osiosta.
Yhtälöiden ratkaiseminen
Yhtälö on yhtäsuuruus, jossa on muuttuja (tai tuntematon). Yhden muuttujan $x$ yhtälö yleisessä muodossa kirjoitetaan tavallisesti näin: $f(x) = g(x)$.
Yhtälön ratkaisua (tai juuria) kutsutaan muuttujan sellaiseksi arvoksi, jolla yhtälöstä tulee tosi lukuyhtälö. Yhtälön ratkaiseminen tarkoittaa kaikkien sen ratkaisujen löytämistä tai osoittamista, ettei niitä ole.
Yhtälön ratkaiseminen laskimella: syötä ensin yhtälön osa ennen =-merkkiä, paina nappia x=y, syötä yhtälön loppuosa, paina nappia = laskemiseksi. Esimerkiksi yhtälöllä $2x - 4 = 0$ juuri on $x = 2$. Näin tämä tulos saatiin yhtälölaskimella:
$$2x - 4 = 0 \\ \Downarrow \\ x = 2$$
2 x - 4 x=y 0 =
Lineaariset yhtälöt
Yhden tuntemattoman lineaarinen yhtälö on seuraavan muotoinen yhtälö:
$$ax + b = 0,$$
missä
- $x$ on tuntematon,
- $a$ on tuntemattoman kerroin,
- $b$ on yhtälön vakiotermi.
Lineaariset yhtälöt ovat yksinkertaisimpia algebrallisia yhtälöitä, joiden ratkaiseminen palautuu helppoon laskutoimitukseen.
Ratkaisuesimerkkejä:
$$4x - 16 = 0 \\ \Downarrow \\ x = 4$$
4 x - 1 6 x=y 0 =
$$3x + 2 = 6 - x \\ \Downarrow \\ x = 1$$
3 x + 2 x=y 6 - x =
Neliöyhtälöt
Neliöyhtälö on seuraavan muotoinen yhtälö:
$$ax^2 + bx + c = 0 \ \ \ (a \ne 0)$$
Neliöyhtälöiden ratkaiseminen laskimella:
$$4x^2 - 6x + 2 = 0 \\ \Downarrow \\ x_1 = 1, \ x_2 = 0.5$$
4 x x2 - 6 x
+ 2 x=y 0 =
$$x^2 - 3x - 4 = 0 \\ \Downarrow \\ x_1 = 4, \ x_2 = -1$$
x x2 - 3 x - 4 x=y 0 =
$$x^2 - 4x + 4 = 0 \\ \Downarrow \\ x_1 = x_2 = x = 2$$
x x2 - 4 x + 4 x=y 0 =
Kertoimien suhteet
On olemassa neliöyhtälöitä, joiden kertoimet ovat sellaisessa suhteessa, että nämä yhtälöt voidaan ratkaista paljon helpommin.
$$a + b + c = 0 \\ \Downarrow \\ x_1 = 1, \ x_2 = \frac {c} {a}$$
$$a + c = b \\ \Downarrow \\ x_1 = -1, \ x_2 = - \frac {c} {a}$$
Tällaisten yhtälöiden juuret voidaan löytää myös tavallisella laskimella.
Diskriminantti
Diskriminanttia käytetään neliöyhtälön juurien löytämiseen. Diskriminantin laskukaava on:
$$D = b^2 - 4ac$$
Juurien laskukaava diskriminantin avulla:
$$x_{1,2} = \frac {-b \pm \sqrt D} {2a}$$
Jos $D > 0$, yhtälöllä on kaksi eri juuria. Esimerkiksi:
$$4x^2 - 6x + 2 = 0 \\ \Downarrow \\ a = 4, \ b = -6, \ c = 2 \\ \Downarrow \\ D = (-6)^2 - 4 × 4 × 2 = 4 \\ \Downarrow \\ x_{1,2} = \frac {-(-6) \pm \sqrt 4} {2 × 4} \\ \Downarrow \\ x_1 = \frac {6 + 2} {8} = 1, \ x_2 = \frac {6 - 2} {8} = 0.5$$
Jos $D = 0$, yhtälöllä on yksi juuri (tai kaksi samaa juuria). Esimerkiksi:
$$x^2 - 4x + 4 = 0 \\ \Downarrow \\ a = 1, \ b = -4, \ c = 4 \\ \Downarrow \\ D = (-4)^2 - 4 × 1 × 4 = 0 \\ \Downarrow \\ x_{1,2} = \frac {-(-4) \pm \sqrt 0} {2 × 1} \\ \Downarrow \\ x_1 = x_2 = x = \frac {4 \pm 0} {2} = 2$$
Jos $D < 0$, yhtälöllä ei ole juuria reaalilukujen joukossa:
$$x^2 + 4x + 5 = 0 \\ \Downarrow \\ a = 1, \ b = 4, \ c = 5 \\ \Downarrow \\ D = 6^2 - 4 × 1 × 5 = -4 \\ \Downarrow \\ x_{1,2} = \frac {-4 \pm \sqrt {-4}} {2 × 1} \\ \Downarrow \\ x_1 = \frac {-4 + 2i} {2} = -2 + i, \\ x_2 = \frac {-4 - 2i} {2} = -2 - i$$
Vietan lause
Vietan lause määrittää yksinkertaiset algebrallisen lausekkeet (Vietan kaavat) neliöyhtälön juurien $x_1, x_2$ ja sen kertoimien $a, b, c$ välille. Näiden kaavojen avulla voidaan löytää juuret, jos kertoimet tunnetaan, tai laskea kertoimet, jos juuret tunnetaan.
Vietan kaavat:
$$\begin {cases} x_1 + x_2 = - \dfrac {b} {a} \\ x_1 x_2 = \dfrac {c} {a} \end {cases}$$
Bikvadraattiyhtälöt
Bikvadraattiyhtälö on seuraavan muotoinen yhtälö:
$$ax^4 + bx^2 + c = 0 \ \ \ (a \ne 0)$$
Jos tehdään sijoitus $x^2$ kohdalle $y \ (y \ge 0)$, saadaan neliöyhtälö, jolle voidaan löytää juuret $y_1, y_2$. Bikvadraattiyhtälön juuret löydetään näin:
$$x_{1,2} = \pm \sqrt {y_1}, \ \ \ x_{3,4} = \pm \sqrt {y_2}$$
Kuutioyhtälöt
Kuutioyhtälö on seuraavan muotoinen yhtälö:
$$ax^3 + bx^2 + cx + d = 0 \ \ \ (a \ne 0)$$
Ratkaisuesimerkkiä:
$$x^3 - 6x^2 - 31x + 120 = 0 \\ \Downarrow \\ x_1 = -5, x_2 = 3, x_3 = 8$$
x x3 - 6 x x2 - 3 1 x
+ 1 2 0 x=y 0 =
Jos kuutioyhtälö jaetaan $a$:lla ja $x$ korvataan muotoon $y - \frac {b} {3a}$, se saa seuraavan yksinkertaisemman muodon:
$$y^3 + py + q = 0,$$
missä
$y = x + \frac {b} {3a}$,
$p = \frac {c} {a} - \frac {b^2} {3a^2} = \frac {3ac - b^2} {3a^2}$,
$q = \frac {2b^3} {27a^3} - \frac {bc} {3a^2} + \frac {d} {a} = \frac {2b^3 - 9abc + 27a^2d} {27a^3}$.
Cardanon kaava
Jos kuutioyhtälö on seuraavassa muodossa:
$$y^3 + py + q = 0,$$
sen juurien löytämiseen voidaan soveltaa Cardanon kaavaa:
$$x = \sqrt[3] {- \frac {q} {2} + \sqrt {\frac {q^2} {4} + \frac {p^3} {27}}} + \\ + \ \sqrt[3] {- \frac {q} {2} - \sqrt {\frac {q^2} {4} + \frac {p^3} {27}}}$$