Integraalilaskin
Tämän laskimen avulla voit laskea määräämättömän tai määrätyn integraalin. Laskuesimerkkejä löytyy vastaavasta osiosta.
Joitakin perusintegraaleja ei tarvitse laskea, vaan alkulauseen voi löytää suoraan taulukosta.
Alkulause
Funktion $f(x)$ alkulause on sellainen funktio $F(x)$, jonka derivaatta on $f(x)$, eli $F^{\prime}(x) = f(x)$. Alkulauseen löytäminen on derivoinnin käänteisoperaatio.
Jos $F(x)$ on funktion $f(x)$ alkulause, niin funktio $F(x) + C$, missä $C$ on mielivaltainen vakio, on myös funktion $f(x)$ alkulause.
Määräämätön integraali
Funktion $f(x)$ määräämätön integraali on kaikkien kyseisen funktion alkulauseiden joukko. Se merkitään seuraavasti:
$$\int f(x) dx = F(x) + C,$$
missä
- $\int$ on integraalioperaattorin merkki
- $f(x)$ on integroitava funktio
- $dx$ on integroimismuuttuja
- $F(x)$ on alkulause
- $C$ on integroimisvakio
Integraalin löytämisoperaatiota kutsutaan integroimiseksi.
Ominaisuuksia
Määräämättömän integraalin pääominaisuudet:
$$\int a \cdot f(x) dx = \\ = a \cdot \int f(x) dx \ \ \ (a \ne 0)$$
$$\int (f(x) \pm g(x)) dx = \\ = \int f(x) dx \pm \int g(x) dx$$
Laskuesimerkkejä
Alla on esimerkkejä määräämättömien integraalien laskemisesta. Näiden laskujen tekemiseksi integraalilaskimella tulee painaa näppäimiä, jotka on ilmoitettu kunkin esimerkin alla. Huomautus: syötä int integraalilaskimen tyhjään kenttään tietokoneesi näppäimistöllä.
$$\int x^3 dx = \frac {x^4} {4} + C$$
i n t ( x xy 3 ) =
$$\int \sin 7x dx = - \frac {\cos 7x} {7} + C$$
i n t ( sin 7 x ) =
$$\int x^3 y dy = \frac {x^3 y^2} {2} + C$$
i n t ( x x^3 y , y ) =
Integraalitaulukko
Taulukko perusmääräämättömistä integraaleista ja niiden alkulauseista:
$\int f(x) dx$ | $F(x) + C$ |
---|---|
$$\int 0 \cdot dx$$ | $$C$$ |
$$\int dx$$ | $$x + C$$ |
$$\int x^n dx$$ | $$\frac {x^{n + 1}} {n + 1} + C \ \ \ (n \ne -1)$$ |
$$\int \frac {1} {x} dx$$ | $$\ln | x | + C$$ |
$$\int e^x dx$$ | $$e^x + C$$ |
$$\int a^x dx$$ | $$\frac {a^x} {\ln a} + C \ \ \ (a > 0, a \ne 1)$$ |
$$\int \cos x dx$$ | $$\sin x + C$$ |
$$\int \sin x dx$$ | $$- \cos x + C$$ |
$$\int \frac {dx} {\cos^2 x}$$ | $$\tg x + C$$ |
$$\int \frac {dx} {\sin^2 x}$$ | $$- \ctg x + C$$ |
$$\int \frac {dx} {\sqrt {1 - x^2}}$$ | $$\begin{gathered} \arcsin x + C_1 = \\ = - \arccos x + C_2 \\ (C_2 = \frac {\pi} {2} + C_1) \end{gathered}$$ |
$$\int \frac {dx} {1 + x^2}$$ | $$\arctg x + C$$ |
$$\int \ch x dx$$ | $$\sh x + C$$ |
$$\int \sh x dx$$ | $$\ch x + C$$ |
Määrätty integraali
Jos $F(x)$ on funktion $f(x)$ alkulause, joka on määritelty ja jatkuva välillä $[a;b]$, niin määrätty integraali lasketaan kaavalla:
$$\int _a^b f(x) dx = F(x) \mid _a^b = F(b) - F(a)$$
Ominaisuuksia
Määrätyn integraalin pääominaisuudet:
$$\int _a^a f(x) dx = 0$$
$$\int _a^b f(x) dx = - \int _b^a f(x) dx$$
$$\int _a^b f(x) dx = \int _a^c f(x) dx + \\ + \int _c^b f(x) dx \ \ \ (c \in [a;b])$$
Laskuesimerkkejä
Alla on esimerkkejä määrättyjen integraalien laskemisesta. Näiden laskujen tekemiseksi integraalilaskimella tulee painaa näppäimiä, jotka on ilmoitettu kunkin esimerkin alla. Huomautus: syötä int integraalilaskimen tyhjään kenttään tietokoneesi näppäimistöllä.
$$\int _1^3 (5 + x) dx = 14$$
i n t ( 5 + x ,
x 2nd var 1 . . 3 2nd ) =
$$\int _5^8 x^2 dx = 129$$
i n t ( x x2 ,
x 2nd var 5 . . 8 2nd ) =