Matriisitaskutin
Tämän taskulaskimen avulla voit suorittaa matriisien yhteen- ja vähennyslaskuja tai matriisien kertomisen sekä laskea matriisin determinantin. Voit suorittaa tarvittavat laskutoimitukset napsauttamalla peräkkäin painikkeita, jotka on ilmoitettu esimerkin alla vastaavassa osassa.
Voit helposti transponoida matriisin jopa ilman taskulaskinta noudattamalla yksityiskohtaisia ohjeita.
Mitä on matriisi matematiikassa
Matriisi on suorakulmion muotoinen taulukko, joka koostuu $m$ rivistä ja $n$ sarakkeesta ja jossa kussakin ruudussa on jokin luku, symboli tai lauseke. Kukin matriisin alkio sijaitsee tietyn rivin ja sarakkeen risteyskohdassa.
Matriisi merkitään yleensä isolla kirjaimella, esim. $A$. Yksittäiset matriisin alkiot merkitään käyttämällä indeksejä, esim. $a_{12}$ on alkio, joka sijaitsee ensimmäisellä rivillä ja toisessa sarakkeessa.
$$ A = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \dots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \dots & a_{mn} \end{bmatrix} $$
Matriisin koko ilmoitetaan muodossa $m \times n$. Esimerkiksi matriisin koko $3 \times 4$ tarkoittaa, että siinä on 3 riviä ja 4 saraketta. Matriisin alkioiden lukumäärän voi laskea kertomalla $m$ ja $n$ keskenään tavallisella laskimella: $3 \cdot 4 = 12$.
Matriisien yhteen- ja vähennyslasku
Matriisien yhteenlaskussa ja vähennyslaskussa vastaavat alkiot lasketaan yhteen tai vähennetään toisistaan. Tämä edellyttää, että molempien matriisien koko on sama eli niissä on yhtä monta riviä ja saraketta.
Esimerkki matriisien yhteenlaskusta:
$$ \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \end{bmatrix} \ + \ \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 3 & 2 & 1 \end{bmatrix} \ = \ $$
$$ \ = \ \begin{bmatrix} 1+1 & 2+2 & 3+3 \\ 4+3 & 5+2 & 6+1 \end{bmatrix} \ = \ $$
$$ \ = \ \begin{bmatrix} 2 & 4 & 6 \\ 7 & 7 & 7 \end{bmatrix} $$
2nd [ [ 1 , 2 , 3 ]
[ 4 , 5 , 6 ] ]
+ [ [ 1 , 2 , 3 ]
[ 3 , 2 , 1 ] ] =
Esimerkki matriisien vähennyslaskusta:
$$ \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \end{bmatrix} \ - \ \begin{bmatrix} 3 & 2 & 1 \\ 1 & 2 & 3 \end{bmatrix} \ = \ $$
$$\ = \ \begin{bmatrix} 1-3 & 2-2 & 3-1 \\ 4-1 & 5-2 & 6-3 \end{bmatrix} \ = \ $$
$$\ = \ \begin{bmatrix} -2 & 0 & 2 \\ 3 & 3 & 3 \end{bmatrix} $$
2nd [ [ 1 , 2 , 3 ]
[ 4 , 5 , 6 ] ]
- [ [ 3 , 2 , 1 ]
[ 1 , 2 , 3 ] ] =
Matriisien kertominen
Kahden matriisin kertominen on operaatio, jonka tuloksena on uusi matriisi, jota kutsutaan matriisien tuloksi. Kunkin uuden matriisin alkion arvo on vastaavan rivin ensimmäisen ja toisen matriisin sarakkeen alkioiden tulo summojen summa. Matriisien kertominen edellyttää, että ensimmäisen matriisin sarakkeiden määrä on yhtä suuri kuin toisen matriisin rivien määrä.
Esimerkki matriisien kertomisesta:
$$ \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \end{bmatrix} \ \cdot \ \begin{bmatrix} 7 & 8 \\ 9 & 10 \\ 11 & 12 \end{bmatrix} \ = \ $$
$$ \ = \ \begin{bmatrix} 1 \cdot 7 + 2 \cdot 9 + 3 \cdot 11 & 1 \cdot 8 + 2 \cdot 10 + 3 \cdot 12 \\ 4 \cdot 7 + 5 \cdot 9 + 6 \cdot 11 & 4 \cdot 8 + 5 \cdot 10 + 6 \cdot 12 \end{bmatrix} \ = \ $$
$$\ = \ \begin{bmatrix} 58 & 64 \\ 139 & 154 \end{bmatrix} $$
2nd [ [ 1 , 2 , 3 ]
[ 4 , 5 , 6 ] ]
2nd × 2nd [ [ 7 , 8 ]
[ 9 , 1 0 ]
[ 1 1 , 1 2 ] ] =
Matriisin determinantti
Matriisin determinantti ($det(A)$ tai $|A|$) on luku, joka kuvaa neliömatriisin ominaisuuksia.
Esimerkki determinantin laskemisesta (det on syötettävä tyhjään kenttään taskulaskimen ruudun alla käyttämällä tietokoneen näppäimistöä):
$$ |A| = \begin{vmatrix} 1 & -2 & 3 \\ 4 & 0 & 6 \\ -7 & 8 & 9 \end{vmatrix} = 204 $$
d e t ( 2nd [
[ 1 , - 2 , 3 ]
[ 4 , 0 , 6 ]
[ - 7 , 8 , 9 ]
] 2nd ) =
Matriisin transponointi
Transponointi on operaatio, jossa alkuperäisen matriisin rivit ja sarakkeet vaihtavat paikkaa keskenään eli rivit muuttuvat sarakkeiksi ja sarakkeet riveiksi. Jos $A$ on alkuperäinen matriisi, niin transponoitu matriisi merkitään $A^T$. Jos alkuperäisen matriisin $A$ koko on $m \times n$, niin transponoidun matriisin $A^T$ koko on $n \times m$.
$$ A = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \dots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \dots & a_{mn} \end{bmatrix} $$
Voit saada transponoidun matriisin $A^T$ vaihtamalla alkuperäisen matriisin $A$ rivit ja sarakkeet keskenään. Tee se seuraavasti.
Ota ensimmäisen rivin alkiot $a_{11}$…$a_{1n}$ ja kirjoita ne transponoidun matriisin $A^T$ ensimmäiseen sarakkeeseen:
$$ A^T = \begin{bmatrix} a_{11} \\ a_{12} \\ \vdots \\ a_{1n} \end{bmatrix} $$
Ota toisen rivin alkiot $a_{21}$…$a_{2n}$ ja kirjoita ne transponoidun matriisin $A^T$ toiseen sarakkeeseen:
$$ A^T = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{21} \\ a_{12} & a_{22} \\ \vdots & \vdots \\ a_{1n} & a_{2n} \end{bmatrix} $$
Toista tämä vaihe kaikille matriisin $A$ riveille, kunnes ne on kirjoitettu $A^T$:n sarakkeisiin:
$$ A^T = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{21} & \dots & a_{m1} \\ a_{12} & a_{22} & \dots & a_{m2} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{1n} & a_{2n} & \dots & a_{mn} \end{bmatrix} $$
Näin ollen transponoidun matriisin $A^T$ alkiot $a^T_{ij}$ vastaavat alkuperäisen matriisin $A$ alkioita $a_{ji}$.
Esimerkki matriisin transpononoinnista:
$$ A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \\ 5 & 6 \end{bmatrix} \ \ A^T = \begin{bmatrix} 1 & 3 & 5 \\ 2 & 4 & 6 \end{bmatrix} $$