Calculatrice d’équations
Grâce à cette calculatrice, vous pourrez résoudre des équations linéaires, quadratiques ou cubiques en ligne. Vous trouverez des exemples de calculs dans la section correspondante.
Résolution d’équations
Une équation est une égalité avec une variable (ou une inconnue). Une équation à une variable $x$ est généralement écrite sous la forme : $f(x) = g(x)$.
La solution (ou racine) d’une équation est la valeur de la variable qui transforme l’équation en une égalité numérique valide. Résoudre une équation consiste à trouver toutes ses solutions ou à prouver qu’elle n’en a pas.
Pour résoudre une équation avec la calculatrice : commencez par saisir la partie de l’équation avant le signe =, appuyez sur le bouton x=y, saisissez la partie restante de l’équation, puis appuyez sur le bouton = pour effectuer les calculs. Par exemple, pour l’équation $2x - 4 = 0$, la racine est $x = 2$. Voici comment ce résultat a été obtenu avec la calculatrice d’équations :
$$2x - 4 = 0 \\ \Downarrow \\ x = 2$$
2 x - 4 x=y 0 =
Équations linéaires
Une équation linéaire à une inconnue est une équation de la forme suivante :
$$ax + b = 0,$$
où
- $x$ est l’inconnue,
- $a$ est le coefficient de l’inconnue,
- $b$ est le terme constant de l’équation.
Les équations linéaires sont les formes les plus simples d’équations algébriques, dont la résolution se ramène à des opérations arithmétiques élémentaires.
Exemples de résolution :
$$4x - 16 = 0 \\ \Downarrow \\ x = 4$$
4 x - 1 6 x=y 0 =
$$3x + 2 = 6 - x \\ \Downarrow \\ x = 1$$
3 x + 2 x=y 6 - x =
Équations quadratiques
Une équation quadratique est une équation de la forme suivante :
$$ax^2 + bx + c = 0 \ \ \ (a \ne 0)$$
Résolution d’équations quadratiques avec la calculatrice :
$$4x^2 - 6x + 2 = 0 \\ \Downarrow \\ x_1 = 1, \ x_2 = 0.5$$
4 x x2 - 6 x
+ 2 x=y 0 =
$$x^2 - 3x - 4 = 0 \\ \Downarrow \\ x_1 = 4, \ x_2 = -1$$
x x2 - 3 x - 4 x=y 0 =
$$x^2 - 4x + 4 = 0 \\ \Downarrow \\ x_1 = x_2 = x = 2$$
x x2 - 4 x + 4 x=y 0 =
Relations entre les coefficients
Certaines équations quadratiques ont des coefficients liés par des relations permettant de les résoudre plus facilement.
$$a + b + c = 0 \\ \Downarrow \\ x_1 = 1, \ x_2 = \frac {c} {a}$$
$$a + c = b \\ \Downarrow \\ x_1 = -1, \ x_2 = - \frac {c} {a}$$
Les racines de ces équations peuvent également être trouvées avec une calculatrice ordinaire.
Discriminant
Le discriminant est utilisé pour trouver les racines d’une équation quadratique. La formule pour calculer le discriminant est :
$$D = b^2 - 4ac$$
La formule pour calculer les racines à l’aide du discriminant est :
$$x_{1,2} = \frac {-b \pm \sqrt D} {2a}$$
Si $D > 0$, l’équation a deux racines réelles distinctes. Par exemple :
$$4x^2 - 6x + 2 = 0 \\ \Downarrow \\ a = 4, \ b = -6, \ c = 2 \\ \Downarrow \\ D = (-6)^2 - 4 × 4 × 2 = 4 \\ \Downarrow \\ x_{1,2} = \frac {-(-6) \pm \sqrt 4} {2 × 4} \\ \Downarrow \\ x_1 = \frac {6 + 2} {8} = 1, \ x_2 = \frac {6 - 2} {8} = 0.5$$
Si $D = 0$, l’équation a une racine réelle (ou deux racines réelles égales). Par exemple :
$$x^2 - 4x + 4 = 0 \\ \Downarrow \\ a = 1, \ b = -4, \ c = 4 \\ \Downarrow \\ D = (-4)^2 - 4 × 1 × 4 = 0 \\ \Downarrow \\ x_{1,2} = \frac {-(-4) \pm \sqrt 0} {2 × 1} \\ \Downarrow \\ x_1 = x_2 = x = \frac {4 \pm 0} {2} = 2$$
Si $D < 0$, l’équation n’a pas de racine réelle :
$$x^2 + 4x + 5 = 0 \\ \Downarrow \\ a = 1, \ b = 4, \ c = 5 \\ \Downarrow \\ D = 6^2 - 4 × 1 × 5 = -4 \\ \Downarrow \\ x_{1,2} = \frac {-4 \pm \sqrt {-4}} {2 × 1} \\ \Downarrow \\ x_1 = \frac {-4 + 2i} {2} = -2 + i, \\ x_2 = \frac {-4 - 2i} {2} = -2 - i$$
Théorème de Viète
Le théorème de Viète établit des relations algébriques simples (formules de Viète) entre les racines $x_1, x_2$ d’une équation quadratique et ses coefficients $a, b, c$. En utilisant ces formules, on peut trouver les racines si les coefficients sont connus, ou calculer les coefficients si les racines sont connues.
Formules de Viète :
$$\begin {cases} x_1 + x_2 = - \dfrac {b} {a} \\ x_1 x_2 = \dfrac {c} {a} \end {cases}$$
Équations biquadratiques
Une équation biquadratique est une équation de la forme suivante :
$$ax^4 + bx^2 + c = 0 \ \ \ (a \ne 0)$$
En posant $x^2 = y \ (y \ge 0)$, on obtient une équation quadratique dont les racines $y_1, y_2$ peuvent être trouvées. Les racines de l’équation biquadratique sont alors :
$$x_{1,2} = \pm \sqrt {y_1}, \ \ \ x_{3,4} = \pm \sqrt {y_2}$$
Équations cubiques
Une équation cubique est une équation de la forme suivante :
$$ax^3 + bx^2 + cx + d = 0 \ \ \ (a \ne 0)$$
Exemple de résolution :
$$x^3 - 6x^2 - 31x + 120 = 0 \\ \Downarrow \\ x_1 = -5, x_2 = 3, x_3 = 8$$
x x3 - 6 x x2 - 3 1 x
+ 1 2 0 x=y 0 =
Si l’équation cubique est divisée par $a$ et que $x$ est remplacé par $y - \frac {b} {3a}$, elle prend la forme plus simple suivante :
$$y^3 + py + q = 0,$$
où
$y = x + \frac {b} {3a}$,
$p = \frac {c} {a} - \frac {b^2} {3a^2} = \frac {3ac - b^2} {3a^2}$,
$q = \frac {2b^3} {27a^3} - \frac {bc} {3a^2} + \frac {d} {a} = \frac {2b^3 - 9abc + 27a^2d} {27a^3}$.
Formule de Cardano
Si une équation cubique est de la forme :
$$y^3 + py + q = 0,$$
alors les racines de cette équation peuvent être trouvées en utilisant la formule de Cardano :
$$x = \sqrt[3] {- \frac {q} {2} + \sqrt {\frac {q^2} {4} + \frac {p^3} {27}}} + \\ + \ \sqrt[3] {- \frac {q} {2} - \sqrt {\frac {q^2} {4} + \frac {p^3} {27}}}$$