Calculatrice d’intégrales
Grâce à cette calculatrice, vous pourrez calculer une intégrale indéfinie ou définie. Vous pourrez trouver des exemples de calcul dans la section correspondante.
Certaines intégrales de base peuvent être trouvées directement dans la table des primitives sans avoir à les calculer.
Primitive
La primitive d’une fonction $f(x)$ est une fonction $F(x)$ dont la dérivée est égale à $f(x)$, c’est-à-dire $F^{\prime}(x) = f(x)$. La recherche de la primitive est l’opération inverse de la dérivation.
Si $F(x)$ est une primitive de $f(x)$, alors la fonction $F(x) + C$, où $C$ est une constante arbitraire, est également une primitive de $f(x)$.
Intégrale indéfinie
L’intégrale indéfinie d’une fonction $f(x)$ est l’ensemble de toutes les primitives de cette fonction. Elle est notée comme suit :
$$\int f(x) dx = F(x) + C,$$
où
- $\int$ est le symbole d’intégrale
- $f(x)$ est la fonction à intégrer
- $dx$ est l’élément d’intégration
- $F(x)$ est la primitive
- $C$ est la constante d’intégration
L’opération de recherche de l’intégrale s’appelle l’intégration.
Propriétés
Les principales propriétés de l’intégrale indéfinie sont les suivantes :
$$\int a \cdot f(x) dx = \\ = a \cdot \int f(x) dx \ \ \ (a \ne 0)$$
$$\int (f(x) \pm g(x)) dx = \\ = \int f(x) dx \pm \int g(x) dx$$
Exemples de calcul
Voici quelques exemples de calcul d’intégrales indéfinies. Pour effectuer ces calculs sur la calculatrice d’intégrales, vous devez appuyer successivement sur les boutons indiqués sous chaque exemple. Remarque : entrez int dans le champ vide sous l’écran de la calculatrice en utilisant le clavier de votre ordinateur.
$$\int x^3 dx = \frac {x^4} {4} + C$$
i n t ( x xy 3 ) =
$$\int \sin 7x dx = - \frac {\cos 7x} {7} + C$$
i n t ( sin 7 x ) =
$$\int x^3 y dy = \frac {x^3 y^2} {2} + C$$
i n t ( x x^3 y , y ) =
Table des intégrales
Table des intégrales indéfinies de base et de leurs primitives correspondantes :
| $\int f(x) dx$ | $F(x) + C$ |
|---|---|
| $$\int 0 \cdot dx$$ | $$C$$ |
| $$\int dx$$ | $$x + C$$ |
| $$\int x^n dx$$ | $$\frac {x^{n + 1}} {n + 1} + C \ \ \ (n \ne -1)$$ |
| $$\int \frac {1} {x} dx$$ | $$\ln | x | + C$$ |
| $$\int e^x dx$$ | $$e^x + C$$ |
| $$\int a^x dx$$ | $$\frac {a^x} {\ln a} + C \ \ \ (a > 0, a \ne 1)$$ |
| $$\int \cos x dx$$ | $$\sin x + C$$ |
| $$\int \sin x dx$$ | $$- \cos x + C$$ |
| $$\int \frac {dx} {\cos^2 x}$$ | $$\tg x + C$$ |
| $$\int \frac {dx} {\sin^2 x}$$ | $$- \ctg x + C$$ |
| $$\int \frac {dx} {\sqrt {1 - x^2}}$$ | $$\begin{gathered} \arcsin x + C_1 = \\ = - \arccos x + C_2 \\ (C_2 = \frac {\pi} {2} + C_1) \end{gathered}$$ |
| $$\int \frac {dx} {1 + x^2}$$ | $$\arctg x + C$$ |
| $$\int \ch x dx$$ | $$\sh x + C$$ |
| $$\int \sh x dx$$ | $$\ch x + C$$ |
Intégrale définie
Si $F(x)$ est une primitive de la fonction $f(x)$, qui est définie et continue sur l’intervalle $[a;b]$, alors l’intégrale définie est calculée selon la formule :
$$\int _a^b f(x) dx = F(x) \mid _a^b = F(b) - F(a)$$
Propriétés
Les principales propriétés de l’intégrale définie sont les suivantes :
$$\int _a^a f(x) dx = 0$$
$$\int _a^b f(x) dx = - \int _b^a f(x) dx$$
$$\int _a^b f(x) dx = \int _a^c f(x) dx + \\ + \int _c^b f(x) dx \ \ \ (c \in [a;b])$$
Exemples de calcul
Voici quelques exemples de calcul d’intégrales définies. Pour effectuer ces calculs sur la calculatrice, vous devez appuyer successivement sur les boutons indiqués sous chaque exemple. Remarque : entrez int dans le champ vide sous l’écran de la calculatrice en utilisant le clavier de votre ordinateur.
$$\int _1^3 (5 + x) dx = 14$$
i n t ( 5 + x ,
x 2nd var 1 . . 3 2nd ) =
$$\int _5^8 x^2 dx = 129$$
i n t ( x x2 ,
x 2nd var 5 . . 8 2nd ) =