Calculatrice de matrices
Avec cette calculatrice, vous pourrez effectuer l’addition, la soustraction ou la multiplication de matrices, ainsi que calculer le déterminant d’une matrice. Pour effectuer les calculs nécessaires, vous devez cliquer successivement sur les boutons indiqués sous l’exemple dans la section correspondante.
La transposition d’une matrice peut être facilement effectuée sans calculatrice, en suivant simplement les instructions détaillées.
Qu’est-ce qu’une matrice en mathématiques
Une matrice est un tableau rectangulaire d’éléments quelconques (nombres, symboles ou expressions), composé de $m$ lignes et $n$ colonnes. Chaque élément de la matrice est situé à l’intersection d’une ligne et d’une colonne particulières.
Une matrice est généralement désignée par une lettre majuscule, par exemple $A$. Les éléments individuels d’une matrice sont désignés à l’aide d’indices, par exemple $a_{12}$ est l’élément situé à la première ligne et à la deuxième colonne.
$$ A = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \dots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \dots & a_{mn} \end{bmatrix} $$
La taille d’une matrice est désignée par $m \times n$. Par exemple, une matrice de taille $3 \times 4$ aura 3 lignes et 4 colonnes. Le nombre d’éléments dans une matrice peut être trouvé en multipliant $m$ par $n$ sur une calculatrice ordinaire : $3 \cdot 4 = 12$.
Addition et soustraction de matrices
L’addition et la soustraction de matrices sont des opérations où les éléments correspondants des matrices sont additionnés ou soustraits. Pour cela, il est nécessaire que les matrices aient la même taille, c’est-à-dire le même nombre de lignes et de colonnes.
Exemple d’addition de matrices :
$$ \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \end{bmatrix} \ + \ \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 3 & 2 & 1 \end{bmatrix} \ = \ $$
$$ \ = \ \begin{bmatrix} 1+1 & 2+2 & 3+3 \\ 4+3 & 5+2 & 6+1 \end{bmatrix} \ = \ $$
$$ \ = \ \begin{bmatrix} 2 & 4 & 6 \\ 7 & 7 & 7 \end{bmatrix} $$
2nd [ [ 1 , 2 , 3 ]
[ 4 , 5 , 6 ] ]
+ [ [ 1 , 2 , 3 ]
[ 3 , 2 , 1 ] ] =
Exemple de soustraction de matrices :
$$ \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \end{bmatrix} \ - \ \begin{bmatrix} 3 & 2 & 1 \\ 1 & 2 & 3 \end{bmatrix} \ = \ $$
$$\ = \ \begin{bmatrix} 1-3 & 2-2 & 3-1 \\ 4-1 & 5-2 & 6-3 \end{bmatrix} \ = \ $$
$$\ = \ \begin{bmatrix} -2 & 0 & 2 \\ 3 & 3 & 3 \end{bmatrix} $$
2nd [ [ 1 , 2 , 3 ]
[ 4 , 5 , 6 ] ]
- [ [ 3 , 2 , 1 ]
[ 1 , 2 , 3 ] ] =
Multiplication de matrices
La multiplication de deux matrices est l’opération de calcul d’une nouvelle matrice appelée produit de matrices. Chaque élément de cette matrice est égal à la somme des produits des éléments dans la ligne correspondante de la première matrice et la colonne correspondante de la seconde matrice. Pour multiplier des matrices, il est nécessaire que le nombre de colonnes de la première matrice soit égal au nombre de lignes de la seconde matrice.
Exemple de multiplication de matrices :
$$ \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \end{bmatrix} \ \cdot \ \begin{bmatrix} 7 & 8 \\ 9 & 10 \\ 11 & 12 \end{bmatrix} \ = \ $$
$$ \ = \ \begin{bmatrix} 1 \cdot 7 + 2 \cdot 9 + 3 \cdot 11 & 1 \cdot 8 + 2 \cdot 10 + 3 \cdot 12 \\ 4 \cdot 7 + 5 \cdot 9 + 6 \cdot 11 & 4 \cdot 8 + 5 \cdot 10 + 6 \cdot 12 \end{bmatrix} \ = \ $$
$$\ = \ \begin{bmatrix} 58 & 64 \\ 139 & 154 \end{bmatrix} $$
2nd [ [ 1 , 2 , 3 ]
[ 4 , 5 , 6 ] ]
2nd × 2nd [ [ 7 , 8 ]
[ 9 , 1 0 ]
[ 1 1 , 1 2 ] ] =
Déterminant d’une matrice
Le déterminant d’une matrice ($det(A)$ ou $|A|$) est une quantité qui caractérise les propriétés d’une matrice carrée.
Exemple de calcul du déterminant (det doit être entré dans le champ vide sous l’écran de la calculatrice, en utilisant le clavier de votre ordinateur) :
$$ |A| = \begin{vmatrix} 1 & -2 & 3 \\ 4 & 0 & 6 \\ -7 & 8 & 9 \end{vmatrix} = 204 $$
d e t ( 2nd [
[ 1 , - 2 , 3 ]
[ 4 , 0 , 6 ]
[ - 7 , 8 , 9 ]
] 2nd ) =
Transposition d’une matrice
La transposition est une opération où les lignes et les colonnes de la matrice d’origine sont interverties, c’est-à-dire que les lignes deviennent des colonnes et les colonnes deviennent des lignes. Si $A$ est la matrice d’origine, la matrice transposée est notée $A^T$. Si la matrice d’origine $A$ a une taille de $m \times n$, alors la matrice transposée $A^T$ aura une taille de $n \times m$.
$$ A = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \dots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \dots & a_{mn} \end{bmatrix} $$
Pour obtenir la matrice transposée $A^T$, il faut intervertir les lignes et les colonnes de la matrice d’origine $A$. Pour cela, vous devez suivre les étapes suivantes.
Prenez les éléments de la première ligne de $a_{11}$ à $a_{1n}$ et inscrivez-les comme la première colonne de la matrice transposée $A^T$ :
$$ A^T = \begin{bmatrix} a_{11} \\ a_{12} \\ \vdots \\ a_{1n} \end{bmatrix} $$
Prenez les éléments de la deuxième ligne de $a_{21}$ à $a_{2n}$ et inscrivez-les comme la deuxième colonne de $A^T$ :
$$ A^T = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{21} \\ a_{12} & a_{22} \\ \vdots & \vdots \\ a_{1n} & a_{2n} \end{bmatrix} $$
Répétez cette étape pour toutes les lignes de la matrice $A$, jusqu’à ce qu’elles soient inscrites comme colonnes de $A^T$ :
$$ A^T = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{21} & \dots & a_{m1} \\ a_{12} & a_{22} & \dots & a_{m2} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{1n} & a_{2n} & \dots & a_{mn} \end{bmatrix} $$
Ainsi, les éléments $a^T_{ij}$ de la matrice transposée $A^T$ correspondent aux éléments $a_{ji}$ de la matrice d’origine $A$.
Exemple de transposition d’une matrice :
$$ A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \\ 5 & 6 \end{bmatrix} \ \ A^T = \begin{bmatrix} 1 & 3 & 5 \\ 2 & 4 & 6 \end{bmatrix} $$