מחשבון משוואות
באמצעות מחשבון זה תוכלו לפתור משוואה לינארית, ריבועית או קובית מקוון. דוגמאות לחישובים ניתן למצוא בפרק המתאים.
פתרון משוואות
משוואה היא שוויון עם משתנה (או בלתי ידוע). משוואה עם משתנה אחת $x$ בצורה הכללית נכתבת לרוב בצורה הבאה: $f(x) = g(x)$.
פתרון (או שורש) של משוואה הוא ערך של המשתנה שבו המשוואה הופכת לשוויון מספרי נכון. לפתור משוואה פירושו למצוא את כל הפתרונות שלה או להוכיח שאין להם פתרונות.
כיצד לפתור משוואה במחשבון: תחילה יש להזין את החלק של המשוואה עד סימן =, ללחוץ על הכפתור x=y, להזין את החלק הנותר של המשוואה, וללחוץ על הכפתור = כדי לבצע את החישובים. לדוגמה, עבור המשוואה $2x - 4 = 0$ השורש הוא $x = 2$. הנה כיצד תוצאה זו התקבלה באמצעות מחשבון המשוואות:
$$2x - 4 = 0 \\ \Downarrow \\ x = 2$$
2 x - 4 x=y 0 =
משוואות לינאריות
משוואה לינארית עם בלתי ידוע אחד היא משוואה בצורה הבאה:
$$ax + b = 0,$$
כאשר
- $x$ - הבלתי ידוע,
- $a$ - המקדם של הבלתי ידוע,
- $b$ - האגף החופשי של המשוואה.
משוואות לינאריות הן הצורה הפשוטה ביותר של משוואות אלגבריות, ופתרונן מצטמצם לביצוע פעולות חשבון פשוטות.
דוגמאות לפתרון:
$$4x - 16 = 0 \\ \Downarrow \\ x = 4$$
4 x - 1 6 x=y 0 =
$$3x + 2 = 6 - x \\ \Downarrow \\ x = 1$$
3 x + 2 x=y 6 - x =
משוואות ריבועיות
משוואה ריבועית היא משוואה בצורה הבאה:
$$ax^2 + bx + c = 0 \ \ \ (a \ne 0)$$
פתרון משוואות ריבועיות במחשבון:
$$4x^2 - 6x + 2 = 0 \\ \Downarrow \\ x_1 = 1, \ x_2 = 0.5$$
4 x x2 - 6 x
+ 2 x=y 0 =
$$x^2 - 3x - 4 = 0 \\ \Downarrow \\ x_1 = 4, \ x_2 = -1$$
x x2 - 3 x - 4 x=y 0 =
$$x^2 - 4x + 4 = 0 \\ \Downarrow \\ x_1 = x_2 = x = 2$$
x x2 - 4 x + 4 x=y 0 =
יחסים בין מקדמים
ישנן משוואות ריבועיות שהמקדמים שלהן נמצאים ביחסים המאפשרים לפתור אותן בקלות רבה יותר.
$$a + b + c = 0 \\ \Downarrow \\ x_1 = 1, \ x_2 = \frac {c} {a}$$
$$a + c = b \\ \Downarrow \\ x_1 = -1, \ x_2 = - \frac {c} {a}$$
את השורשים של משוואות כאלה ניתן למצוא גם באמצעות מחשבון רגיל.
דיסקרימיננטה
הדיסקרימיננטה משמשת למציאת שורשי משוואה ריבועית. הנוסחה לחישוב הדיסקרימיננטה:
$$D = b^2 - 4ac$$
הנוסחה למציאת השורשים תוך שימוש בדיסקרימיננטה:
$$x_{1,2} = \frac {-b \pm \sqrt D} {2a}$$
אם $D > 0$, אז למשוואה יש שני שורשים שונים. לדוגמה:
$$4x^2 - 6x + 2 = 0 \\ \Downarrow \\ a = 4, \ b = -6, \ c = 2 \\ \Downarrow \\ D = (-6)^2 - 4 × 4 × 2 = 4 \\ \Downarrow \\ x_{1,2} = \frac {-(-6) \pm \sqrt 4} {2 × 4} \\ \Downarrow \\ x_1 = \frac {6 + 2} {8} = 1, \ x_2 = \frac {6 - 2} {8} = 0.5$$
אם $D = 0$, אז למשוואה יש שורש אחד (או שני שורשים זהים). לדוגמה:
$$x^2 - 4x + 4 = 0 \\ \Downarrow \\ a = 1, \ b = -4, \ c = 4 \\ \Downarrow \\ D = (-4)^2 - 4 × 1 × 4 = 0 \\ \Downarrow \\ x_{1,2} = \frac {-(-4) \pm \sqrt 0} {2 × 1} \\ \Downarrow \\ x_1 = x_2 = x = \frac {4 \pm 0} {2} = 2$$
אם $D < 0$, אז למשוואה אין שורשים במערכת המספרים האמיתיים:
$$x^2 + 4x + 5 = 0 \\ \Downarrow \\ a = 1, \ b = 4, \ c = 5 \\ \Downarrow \\ D = 6^2 - 4 × 1 × 5 = -4 \\ \Downarrow \\ x_{1,2} = \frac {-4 \pm \sqrt {-4}} {2 × 1} \\ \Downarrow \\ x_1 = \frac {-4 + 2i} {2} = -2 + i, \\ x_2 = \frac {-4 - 2i} {2} = -2 - i$$
משפט ויאט
משפט ויאט קובע יחסים אלגבריים פשוטים (נוסחאות ויאט) בין השורשים $x_1, x_2$ של משוואה ריבועית למקדמים שלה $a, b, c$. באמצעות נוסחאות אלה ניתן למצוא את השורשים אם ידועים המקדמים, או לחשב את המקדמים אם ידועים השורשים.
נוסחאות ויאט:
$$\begin {cases} x_1 + x_2 = - \dfrac {b} {a} \\ x_1 x_2 = \dfrac {c} {a} \end {cases}$$
משוואות ביקוודרטיות
משוואה ביקוודרטית היא משוואה בצורה הבאה:
$$ax^4 + bx^2 + c = 0 \ \ \ (a \ne 0)$$
אם נבצע את ההחלפה $x^2$ על $y \ (y \ge 0)$, נקבל משוואה ריבועית שעבורה ניתן למצוא את השורשים $y_1, y_2$. שורשי המשוואה הביקוודרטית נמצאים כך:
$$x_{1,2} = \pm \sqrt {y_1}, \ \ \ x_{3,4} = \pm \sqrt {y_2}$$
משוואות קוביות
משוואה קובית היא משוואה בצורה הבאה:
$$ax^3 + bx^2 + cx + d = 0 \ \ \ (a \ne 0)$$
דוגמה לפתרון:
$$x^3 - 6x^2 - 31x + 120 = 0 \\ \Downarrow \\ x_1 = -5, x_2 = 3, x_3 = 8$$
x x3 - 6 x x2 - 3 1 x
+ 1 2 0 x=y 0 =
אם נחלק את המשוואה הקובית ב-$a$ ונחליף את $x$ ב-$y - \frac {b} {3a}$, היא תקבל צורה פשוטה יותר:
$$y^3 + py + q = 0,$$
כאשר
$y = x + \frac {b} {3a}$,
$p = \frac {c} {a} - \frac {b^2} {3a^2} = \frac {3ac - b^2} {3a^2}$,
$q = \frac {2b^3} {27a^3} - \frac {bc} {3a^2} + \frac {d} {a} = \frac {2b^3 - 9abc + 27a^2d} {27a^3}$.
נוסחת קרדנו
אם למשוואה הקובית יש צורה כזו:
$$y^3 + py + q = 0,$$
אז למציאת השורשים של משוואה זו ניתן להשתמש בנוסחת קרדנו:
$$x = \sqrt[3] {- \frac {q} {2} + \sqrt {\frac {q^2} {4} + \frac {p^3} {27}}} + \\ + \ \sqrt[3] {- \frac {q} {2} - \sqrt {\frac {q^2} {4} + \frac {p^3} {27}}}$$