Web 2.0 scientific calculator

מחשבון אינטגראלים

באמצעות מחשבון זה תוכלו לחשב אינטגראל בלתי מוגדר או מוגדר. ניתן למצוא דוגמאות לחישובים בפרק המתאים.

חלק מהאינטגראלים הבסיסיים אין צורך לחשב, אלא למצוא את הפונקציה השורש בטבלה.

פונקציית השורש

פונקציית השורש עבור הפונקציה $f(x)$ היא פונקציה $F(x)$ שהנגזרת שלה שווה ל- $f(x)$, כלומר $F^{\prime}(x) = f(x)$. מציאת פונקציית השורש היא פעולה הפוכה לגזירה.

אם $F(x)$ היא פונקציית השורש עבור $f(x)$, אז הפונקציה $F(x) + C$, כאשר $C$ היא קבוע שרירותי, גם היא פונקציית שורש עבור $f(x)$.

אינטגראל בלתי מוגדר

אינטגראל בלתי מוגדר עבור הפונקציה $f(x)$ הוא קבוצת כל פונקציות השורש של פונקציה זו. זה מסומן כך:

$$\int f(x) dx = F(x) + C,$$

כאשר

  • $\int$ - סימן האינטגראל
  • $f(x)$ - הפונקציה שתחת הסימן
  • $dx$ - אלמנט האינטגראל
  • $F(x)$ - פונקציית השורש
  • $C$ - קבוע השילוב

הפעולה של מציאת האינטגראל נקראת אינטגראציה.

תכונות

התכונות הבסיסיות של האינטגראל הבלתי מוגדר:

$$\int a \cdot f(x) dx = \\ = a \cdot \int f(x) dx \ \ \ (a \ne 0)$$


$$\int (f(x) \pm g(x)) dx = \\ = \int f(x) dx \pm \int g(x) dx$$

דוגמאות לחישוב

להלן דוגמאות לחישוב אינטגרלים בלתי מוגדרים. כדי לבצע חישובים אלה במחשבון האינטגרלים, יש ללחוץ בזו אחר זו על הלחצנים המצוינים מתחת לכל דוגמה. הערה: הקלידו int בשדה הריק מתחת למסך המחשבון באמצעות מקלדת המחשב שלכם.

$$\int x^3 dx = \frac {x^4} {4} + C$$

i n t ( x xy 3 ) =


$$\int \sin 7x dx = - \frac {\cos 7x} {7} + C$$

i n t ( sin 7 x ) =


$$\int x^3 y dy = \frac {x^3 y^2} {2} + C$$

i n t ( x x^3 y , y ) =

טבלת אינטגראלים

טבלת האינטגראלים הבלתי מוגדרים הבסיסיים ופונקציות השורש המתאימות:

$\int f(x) dx$$F(x) + C$
$$\int 0 \cdot dx$$$$C$$
$$\int dx$$$$x + C$$
$$\int x^n dx$$$$\frac {x^{n + 1}} {n + 1} + C \ \ \ (n \ne -1)$$
$$\int \frac {1} {x} dx$$$$\ln | x | + C$$
$$\int e^x dx$$$$e^x + C$$
$$\int a^x dx$$$$\frac {a^x} {\ln a} + C \ \ \ (a > 0, a \ne 1)$$
$$\int \cos x dx$$$$\sin x + C$$
$$\int \sin x dx$$$$- \cos x + C$$
$$\int \frac {dx} {\cos^2 x}$$$$\tg x + C$$
$$\int \frac {dx} {\sin^2 x}$$$$- \ctg x + C$$
$$\int \frac {dx} {\sqrt {1 - x^2}}$$$$\begin{gathered} \arcsin x + C_1 = \\ = - \arccos x + C_2 \\ (C_2 = \frac {\pi} {2} + C_1) \end{gathered}$$
$$\int \frac {dx} {1 + x^2}$$$$\arctg x + C$$
$$\int \ch x dx$$$$\sh x + C$$
$$\int \sh x dx$$$$\ch x + C$$

אינטגראל מוגדר

אם $F(x)$ היא פונקציית השורש עבור הפונקציה $f(x)$ המוגדרת ורציפה על הקטע $[a;b]$, האינטגראל המוגדר מחושב לפי הנוסחה:

$$\int _a^b f(x) dx = F(x) \mid _a^b = F(b) - F(a)$$

תכונות

התכונות הבסיסיות של האינטגראל המוגדר:

$$\int _a^a f(x) dx = 0$$


$$\int _a^b f(x) dx = - \int _b^a f(x) dx$$


$$\int _a^b f(x) dx = \int _a^c f(x) dx + \\ + \int _c^b f(x) dx \ \ \ (c \in [a;b])$$

דוגמאות לחישוב

להלן דוגמאות לחישוב אינטגראלים מוגדרים. כדי לבצע חישובים אלה במחשבון, יש ללחוץ בזו אחר זו על הלחצנים המצוינים מתחת לכל דוגמה. הערה: הקלידו int בשדה הריק מתחת למסך המחשבון באמצעות מקלדת המחשב שלכם.

$$\int _1^3 (5 + x) dx = 14$$

i n t ( 5 + x ,
x 2nd var 1 . . 3 2nd ) =


$$\int _5^8 x^2 dx = 129$$

i n t ( x x2 ,
x 2nd var 5 . . 8 2nd ) =