מחשבון מטריצות

באמצעות מחשבון זה תוכלו לבצע חיבור, חיסור או כפל של מטריצות, וכן לחשב את הדטרמיננטה של מטריצה. כדי לבצע את החישובים הדרושים, יש ללחוץ בזה אחר זה על הלחצנים המצוינים מתחת לדוגמה בקטע המתאים.

הזזת מטריצה ניתנת לביצוע בקלות ללא מחשבון, פשוט עליכם לעקוב אחר ההוראות המפורטות.

מהי מטריצה במתמטיקה

מטריצה היא טבלה ריבועית של איברים כלשהם (מספרים, סמלים או ביטויים), המורכבת מ-$m$ שורות ו-$n$ עמודות. כל איבר במטריצה ממוקם בנקודת החיתוך של שורה ועמודה מסוימים.

מטריצה מסומנת בדרך כלל באות רישית, כמו $A$. איברים בודדים במטריצה מסומנים באמצעות מפתחות, למשל $a_{12}$ - איבר הממוקם בשורה הראשונה ובעמודה השנייה.

$$ A = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \dots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \dots & a_{mn} \end{bmatrix} $$

גודל המטריצה מסומן כ-$m \times n$. למשל, מטריצה בגודל $3 \times 4$ תכלול 3 שורות ו-4 עמודות. את מספר האיברים במטריצה ניתן למצוא על ידי כפל $m$ ב-$n$ במחשבון רגיל: $3 \cdot 4 = 12$.

חיבור וחיסור מטריצות

חיבור וחיסור מטריצות הן פעולות בהן האיברים המתאימים של המטריצות מחוברים או מוחסרים. בשלב זה, יש להקפיד כי למטריצות יהיה גודל זהה, כלומר מספר השורות והעמודות יהיו זהים.

דוגמה לחיבור מטריצות:

$$ \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \end{bmatrix} \ + \ \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 3 & 2 & 1 \end{bmatrix} \ = \ $$

$$ \ = \ \begin{bmatrix} 1+1 & 2+2 & 3+3 \\ 4+3 & 5+2 & 6+1 \end{bmatrix} \ = \ $$

$$ \ = \ \begin{bmatrix} 2 & 4 & 6 \\ 7 & 7 & 7 \end{bmatrix} $$

2^nd [ [ 1 , 2 , 3 ]
[ 4 , 5 , 6 ] ]
+ [ [ 1 , 2 , 3 ]
[ 3 , 2 , 1 ] ] =

דוגמה לחיסור מטריצות:

$$ \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \end{bmatrix} \ - \ \begin{bmatrix} 3 & 2 & 1 \\ 1 & 2 & 3 \end{bmatrix} \ = \ $$

$$\ = \ \begin{bmatrix} 1-3 & 2-2 & 3-1 \\ 4-1 & 5-2 & 6-3 \end{bmatrix} \ = \ $$

$$\ = \ \begin{bmatrix} -2 & 0 & 2 \\ 3 & 3 & 3 \end{bmatrix} $$

2^nd [ [ 1 , 2 , 3 ]
[ 4 , 5 , 6 ] ]
- [ [ 3 , 2 , 1 ]
[ 1 , 2 , 3 ] ] =

כפל מטריצות

כפל שתי מטריצות הינו פעולה של חישוב מטריצה חדשה, הנקראת מכפלת המטריצות. כל איבר במכפלה זו שווה לסכום של מכפלות האיברים בשורה המתאימה במטריצה הראשונה ובעמודה המתאימה במטריצה השנייה. כדי לכפול מטריצות, יש צורך שמספר העמודות במטריצה הראשונה יהיה שווה למספר השורות במטריצה השנייה.

דוגמה לכפל מטריצות:

$$ \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \end{bmatrix} \ \cdot \ \begin{bmatrix} 7 & 8 \\ 9 & 10 \\ 11 & 12 \end{bmatrix} \ = \ $$

$$ \ = \ \begin{bmatrix} 1 \cdot 7 + 2 \cdot 9 + 3 \cdot 11 & 1 \cdot 8 + 2 \cdot 10 + 3 \cdot 12 \\ 4 \cdot 7 + 5 \cdot 9 + 6 \cdot 11 & 4 \cdot 8 + 5 \cdot 10 + 6 \cdot 12 \end{bmatrix} \ = \ $$

$$\ = \ \begin{bmatrix} 58 & 64 \\ 139 & 154 \end{bmatrix} $$

2^nd [ [ 1 , 2 , 3 ]
[ 4 , 5 , 6 ] ]
2^nd × 2^nd [ [ 7 , 8 ]
[ 9 , 1 0 ]
[ 1 1 , 1 2 ] ] =

דטרמיננטה של מטריצה

הדטרמיננטה של מטריצה ($det(A)$ או $|A|$) היא גודל המאפיין את תכונות המטריצה הריבועית.

דוגמה לחישוב הדטרמיננטה (det יש להזין בשדה הריק מתחת למסך המחשבון, באמצעות מקלדת המחשב):

$$ |A| = \begin{vmatrix} 1 & -2 & 3 \\ 4 & 0 & 6 \\ -7 & 8 & 9 \end{vmatrix} = 204 $$

d e t ( 2^nd [
[ 1 , - 2 , 3 ]
[ 4 , 0 , 6 ]
[ - 7 , 8 , 9 ]
] 2^nd ) =

הזזת מטריצה

הזזה היא פעולה בה השורות והעמודות של המטריצה המקורית מוחלפים זה בזה, כלומר השורות הופכות לעמודות והעמודות הופכים לשורות. אם $A$ היא המטריצה המקורית, המטריצה המוזזת מסומנת כ-$A^T$. אם גודלה של המטריצה המקורית $A$ הוא $m \times n$, אזי הגודל של המטריצה המוזזת $A^T$ יהיה $n \times m$.

$$ A = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \dots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \dots & a_{mn} \end{bmatrix} $$

כדי לקבל את המטריצה המוזזת $A^T$, יש להחליף בין השורות לעמודות של המטריצה המקורית $A$. לשם כך, יש לבצע את הפעולות הבאות.

לקחת את האיברים בשורה הראשונה מ-$a_{11}$ עד $a_{1n}$ ולרשום אותם כעמודה הראשונה של המטריצה המוזזת $A^T$:

$$ A^T = \begin{bmatrix} a_{11} \\ a_{12} \\ \vdots \\ a_{1n} \end{bmatrix} $$

לקחת את האיברים בשורה השנייה מ-$a_{21}$ עד $a_{2n}$ ולרשום אותם כעמודה השנייה של $A^T$:

$$ A^T = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{21} \\ a_{12} & a_{22} \\ \vdots & \vdots \\ a_{1n} & a_{2n} \end{bmatrix} $$

לחזור על שלב זה עבור כל שורות המטריצה $A$, עד שכולן יירשמו כעמודות $A^T$:

$$ A^T = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{21} & \dots & a_{m1} \\ a_{12} & a_{22} & \dots & a_{m2} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{1n} & a_{2n} & \dots & a_{mn} \end{bmatrix} $$

כך, האיברים $a^T_{ij}$ של המטריצה המוזזת $A^T$ מתאימים לאיברים $a_{ji}$ של המטריצה המקורית $A$.

דוגמה להזזת מטריצה:

$$ A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \\ 5 & 6 \end{bmatrix} \ \ A^T = \begin{bmatrix} 1 & 3 & 5 \\ 2 & 4 & 6 \end{bmatrix} $$