समीकरण कैलकुलेटर
इस कैलकुलेटर की सहायता से आप ऑनलाइन रेखीय, वर्ग या घन समीकरण का समाधान कर सकते हैं। उदाहरण गणनाएं संबंधित अनुभाग में मिल सकती हैं।
समीकरण समाधान
समीकरण एक समीकरण है जिसमें चर (या अज्ञात) होता है। एक चर $x$ के साथ समीकरण को आमतौर पर इस तरह लिखा जाता है: $f(x) = g(x)$।
समीकरण का समाधान (या मूल) ऐसा चर का मान है जिससे समीकरण एक सही संख्यात्मक समीकरण बन जाता है। समीकरण को हल करना यानी इसके सभी समाधान ढूंढना या साबित करना कि उनका अस्तित्व नहीं है।
कैलकुलेटर पर समीकरण को हल करने के लिए: पहले = चिह्न से पहले समीकरण का हिस्सा दर्ज करें, x=y बटन दबाएं, समीकरण का बाकी हिस्सा दर्ज करें, गणना करने के लिए = बटन दबाएं। उदाहरण के लिए, समीकरण $2x - 4 = 0$ का मूल $x = 2$ है। यह परिणाम समीकरण कैलकुलेटर की मदद से इस प्रकार प्राप्त किया गया था:
$$2x - 4 = 0 \\ \Downarrow \\ x = 2$$
2 x - 4 x=y 0 =
रैखिक समीकरण
एक अज्ञात के साथ रैखिक समीकरण का रूप निम्नानुसार होता है:
$$ax + b = 0,$$
जहां
- $x$ अज्ञात है,
- $a$ अज्ञात का गुणांक है,
- $b$ समीकरण का मुक्त पद है।
रैखिक समीकरण बीजीय समीकरणों का सबसे सरल प्रकार है, जिनके समाधान के लिए सरल अंकगणितीय क्रियाएं करनी पड़ती हैं।
समाधान के उदाहरण:
$$4x - 16 = 0 \\ \Downarrow \\ x = 4$$
4 x - 1 6 x=y 0 =
$$3x + 2 = 6 - x \\ \Downarrow \\ x = 1$$
3 x + 2 x=y 6 - x =
वर्ग समीकरण
वर्ग समीकरण का रूप निम्नानुसार होता है:
$$ax^2 + bx + c = 0 \ \ \ (a \ne 0)$$
कैलकुलेटर पर वर्गीय समीकरणों का समाधान:
$$4x^2 - 6x + 2 = 0 \\ \Downarrow \\ x_1 = 1, \ x_2 = 0.5$$
4 x x2 - 6 x
+ 2 x=y 0 =
$$x^2 - 3x - 4 = 0 \\ \Downarrow \\ x_1 = 4, \ x_2 = -1$$
x x2 - 3 x - 4 x=y 0 =
$$x^2 - 4x + 4 = 0 \\ \Downarrow \\ x_1 = x_2 = x = 2$$
x x2 - 4 x + 4 x=y 0 =
गुणांकों का अनुपात
कुछ ऐसे वर्ग समीकरण हैं जिनके गुणांक ऐसे अनुपात रखते हैं जिनसे इन समीकरणों को काफी आसानी से हल किया जा सकता है।
$$a + b + c = 0 \\ \Downarrow \\ x_1 = 1, \ x_2 = \frac {c} {a}$$
$$a + c = b \\ \Downarrow \\ x_1 = -1, \ x_2 = - \frac {c} {a}$$
इन समीकरणों के मूलों को सामान्य कैलकुलेटर की सहायता से भी निकाला जा सकता है।
विभेदक
वर्ग समीकरण के मूलों को ढूंढने के लिए विभेदक का इस्तेमाल किया जाता है। विभेदक की गणना सूत्र:
$$D = b^2 - 4ac$$
विभेदक का उपयोग करके मूलों की गणना सूत्र:
$$x_{1,2} = \frac {-b \pm \sqrt D} {2a}$$
यदि $D > 0$, तो समीकरण के दो विभिन्न मूल होते हैं। उदाहरण के लिए:
$$4x^2 - 6x + 2 = 0 \\ \Downarrow \\ a = 4, \ b = -6, \ c = 2 \\ \Downarrow \\ D = (-6)^2 - 4 × 4 × 2 = 4 \\ \Downarrow \\ x_{1,2} = \frac {-(-6) \pm \sqrt 4} {2 × 4} \\ \Downarrow \\ x_1 = \frac {6 + 2} {8} = 1, \ x_2 = \frac {6 - 2} {8} = 0.5$$
यदि $D = 0$, तो समीकरण का एक मूल होता है (या दो समान मूल होते हैं)। उदाहरण के लिए:
$$x^2 - 4x + 4 = 0 \\ \Downarrow \\ a = 1, \ b = -4, \ c = 4 \\ \Downarrow \\ D = (-4)^2 - 4 × 1 × 4 = 0 \\ \Downarrow \\ x_{1,2} = \frac {-(-4) \pm \sqrt 0} {2 × 1} \\ \Downarrow \\ x_1 = x_2 = x = \frac {4 \pm 0} {2} = 2$$
यदि $D < 0$, तो वास्तविक संख्याओं के समुच्चय पर समीकरण के कोई मूल नहीं होते हैं:
$$x^2 + 4x + 5 = 0 \\ \Downarrow \\ a = 1, \ b = 4, \ c = 5 \\ \Downarrow \\ D = 6^2 - 4 × 1 × 5 = -4 \\ \Downarrow \\ x_{1,2} = \frac {-4 \pm \sqrt {-4}} {2 × 1} \\ \Downarrow \\ x_1 = \frac {-4 + 2i} {2} = -2 + i, \\ x_2 = \frac {-4 - 2i} {2} = -2 - i$$
वीता का सिद्धांत
वीता का सिद्धांत वर्ग समीकरण $x_1, x_2$ के मूलों और इसके गुणांकों $a, b, c$ के बीच सरल बीजीय संबंध (वीता के सूत्र) स्थापित करता है। इन सूत्रों का उपयोग कर यदि गुणांक ज्ञात हैं तो मूल ढूंढे जा सकते हैं, या यदि मूल ज्ञात हैं तो गुणांक निकाले जा सकते हैं।
वीता के सूत्र:
$$\begin {cases} x_1 + x_2 = - \dfrac {b} {a} \\ x_1 x_2 = \dfrac {c} {a} \end {cases}$$
बि-वर्ग समीकरण
बि-वर्ग समीकरण का रूप इस प्रकार होता है:
$$ax^4 + bx^2 + c = 0 \ \ \ (a \ne 0)$$
यदि $x^2$ की जगह $y \ (y \ge 0)$ प्रतिस्थापित कर दिया जाए, तो एक वर्ग समीकरण प्राप्त होगा जिसके मूल $y_1, y_2$ निकाले जा सकते हैं। बि-वर्ग समीकरण के मूल इस प्रकार निकाले जाते हैं:
$$x_{1,2} = \pm \sqrt {y_1}, \ \ \ x_{3,4} = \pm \sqrt {y_2}$$
घनपरक समीकरण
घनपरक समीकरण इस प्रकार दिखाई देता है:
$$ax^3 + bx^2 + cx + d = 0 \ \ \ (a \ne 0)$$
हल करने का उदाहरण:
$$x^3 - 6x^2 - 31x + 120 = 0 \\ \Downarrow \\ x_1 = -5, x_2 = 3, x_3 = 8$$
x x3 - 6 x x2 - 3 1 x
+ 1 2 0 x=y 0 =
यदि घनपरक समीकरण को $a$ से विभाजित किया जाए और $x$ को $y - \frac {b} {3a}$ से प्रतिस्थापित किया जाए, तो वह इस सरल रूप में आ जाएगा:
$$y^3 + py + q = 0,$$
जहां
$y = x + \frac {b} {3a}$,
$p = \frac {c} {a} - \frac {b^2} {3a^2} = \frac {3ac - b^2} {3a^2}$,
$q = \frac {2b^3} {27a^3} - \frac {bc} {3a^2} + \frac {d} {a} = \frac {2b^3 - 9abc + 27a^2d} {27a^3}$.
कार्डानो का सूत्र
यदि घनपरक समीकरण इस रूप में दिया गया है:
$$y^3 + py + q = 0,$$
तो इस समीकरण के मूलों को ज्ञात करने के लिए कार्डानो का सूत्र लागू किया जा सकता है:
$$x = \sqrt[3] {- \frac {q} {2} + \sqrt {\frac {q^2} {4} + \frac {p^3} {27}}} + \\ + \ \sqrt[3] {- \frac {q} {2} - \sqrt {\frac {q^2} {4} + \frac {p^3} {27}}}$$