इंटीग्रल कैलकुलेटर

इस कैलकुलेटर की मदद से आप अनिर्दिष्ट या निर्दिष्ट इंटीग्रल की गणना कर सकते हैं। गणना के उदाहरण संबंधित अनुभाग में प्राप्त किए जा सकते हैं।

कुछ बुनियादी इंटीग्रल्स को गणना करने की आवश्यकता नहीं है, बल्कि तालिका से एंटीडेरिवेटिव का निर्धारण किया जा सकता है।

एंटीडेरिवेटिव

फ़ंक्शन $f(x)$ के लिए एंटीडेरिवेटिव ऐसा फ़ंक्शन $F(x)$ है जिसकी डेरिवेटिव $f(x)$ के बराबर है, यानी $F^{\prime}(x) = f(x)$। एंटीडेरिवेटिव का निर्धारण डिफ्रेंशिएशन की विपरीत प्रक्रिया है।

यदि $F(x)$, $f(x)$ का एंटीडेरिवेटिव है, तो $F(x) + C$, जहां $C$ एक विवेकाधीन स्थिरांक है, भी $f(x)$ का एंटीडेरिवेटिव है।

अनिर्दिष्ट इंटीग्रल

फ़ंक्शन $f(x)$ के लिए अनिर्दिष्ट इंटीग्रल इस प्रकार के सभी एंटीडेरिवेटिव का समुच्चय है। इसे इस प्रकार दर्शाया जाता है:

$$\int f(x) dx = F(x) + C,$$

जहां

$\int$ इंटीग्रल का चिह्न है
$f(x)$ इंटीग्रल फ़ंक्शन है
$dx$ इंटीग्रेशन का तत्व है
$F(x)$ एंटीडेरिवेटिव है
$C$ इंटीग्रेशन स्थिरांक है

इंटीग्रल निर्धारित करने की प्रक्रिया को इंटीग्रेशन कहा जाता है।

गुण

अनिर्दिष्ट इंटीग्रल के प्रमुख गुण:

$$\int a \cdot f(x) dx = \\ = a \cdot \int f(x) dx \ \ \ (a \ne 0)$$

$$\int (f(x) \pm g(x)) dx = \\ = \int f(x) dx \pm \int g(x) dx$$

गणना के उदाहरण

नीचे अनिर्दिष्ट इंटीग्रल्स की गणना के उदाहरण दिए गए हैं। इंटीग्रल कैलकुलेटर पर इन गणनाओं को करने के लिए, प्रत्येक उदाहरण के नीचे दिए गए बटनों पर क्रमिक रूप से क्लिक करना आवश्यक है। टिप्पणी: अपने कंप्यूटर की कीबोर्ड का उपयोग करके कैलकुलेटर स्क्रीन के नीचे दिए गए रिक्त स्थान में int दर्ज करें।

$$\int x^3 dx = \frac {x^4} {4} + C$$

i n t ( x x^y 3 ) =

$$\int \sin 7x dx = - \frac {\cos 7x} {7} + C$$

i n t ( sin 7 x ) =

$$\int x^3 y dy = \frac {x^3 y^2} {2} + C$$

i n t ( x x^3 y , y ) =

इंटीग्रल तालिका

बुनियादी अनिर्दिष्ट इंटीग्रल और उनके एंटीडेरिवेटिव की तालिका:

$\int f(x) dx$	$F(x) + C$
$$\int 0 \cdot dx$$	$$C$$
$$\int dx$$	$$x + C$$
$$\int x^n dx$$	$$\frac {x^{n + 1}} {n + 1} + C \ \ \ (n \ne -1)$$
$$\int \frac {1} {x} dx$$	$$\ln \| x \| + C$$
$$\int e^x dx$$	$$e^x + C$$
$$\int a^x dx$$	$$\frac {a^x} {\ln a} + C \ \ \ (a > 0, a \ne 1)$$
$$\int \cos x dx$$	$$\sin x + C$$
$$\int \sin x dx$$	$$- \cos x + C$$
$$\int \frac {dx} {\cos^2 x}$$	$$\tg x + C$$
$$\int \frac {dx} {\sin^2 x}$$	$$- \ctg x + C$$
$$\int \frac {dx} {\sqrt {1 - x^2}}$$	$$\begin{gathered} \arcsin x + C_1 = \\ = - \arccos x + C_2 \\ (C_2 = \frac {\pi} {2} + C_1) \end{gathered}$$
$$\int \frac {dx} {1 + x^2}$$	$$\arctg x + C$$
$$\int \ch x dx$$	$$\sh x + C$$
$$\int \sh x dx$$	$$\ch x + C$$

निर्दिष्ट इंटीग्रल

यदि $F(x)$, फ़ंक्शन $f(x)$ का एंटीडेरिवेटिव है जो अंतराल $[a;b]$ पर परिभाषित और निरंतर है, तो निर्दिष्ट इंटीग्रल इस समीकरण से गणना की जाती है:

$$\int _a^b f(x) dx = F(x) \mid _a^b = F(b) - F(a)$$

गुण

निर्दिष्ट इंटीग्रल के प्रमुख गुण:

$$\int _a^a f(x) dx = 0$$

$$\int _a^b f(x) dx = - \int _b^a f(x) dx$$

$$\int _a^b f(x) dx = \int _a^c f(x) dx + \\ + \int _c^b f(x) dx \ \ \ (c \in [a;b])$$

गणना के उदाहरण

नीचे निर्दिष्ट इंटीग्रल की गणना के उदाहरण दिए गए हैं। कैलकुलेटर पर इन गणनाओं को करने के लिए, प्रत्येक उदाहरण के नीचे दिए गए बटनों पर क्रमिक रूप से क्लिक करें। टिप्पणी: अपने कंप्यूटर की कीबोर्ड का उपयोग करके कैलकुलेटर स्क्रीन के नीचे दिए गए रिक्त स्थान में int दर्ज करें।

$$\int _1^3 (5 + x) dx = 14$$

i n t ( 5 + x ,
x 2^nd var 1 . . 3 2^nd ) =

$$\int _5^8 x^2 dx = 129$$

i n t ( x x² ,
x 2^nd var 5 . . 8 2^nd ) =