मैट्रिक्स कैलकुलेटर
इस कैलकुलेटर की मदद से आप मैट्रिक्स का जोड़, घटाव या गुणा कर सकते हैं, साथ ही मैट्रिक्स की निर्धारक भी गणना कर सकते हैं। आवश्यक गणना करने के लिए, संबंधित खंड में उदाहरण के नीचे दिए गए बटनों पर क्रमिक रूप से क्लिक करना होगा।
मैट्रिक्स को अनुप्रस्थ करना भी बिना किसी कैलकुलेटर के आसान है, बस विस्तृत निर्देशों का पालन करें।
गणित में मैट्रिक्स
मैट्रिक्स एक आयताकार तालिका है जिसमें $m$ पंक्तियां और $n$ स्तंभ होते हैं और किसी भी प्रकार के तत्व (संख्याएं, प्रतीक या समीकरण) हो सकते हैं। मैट्रिक्स का प्रत्येक तत्व विशिष्ट पंक्ति और स्तंभ के प्रतिच्छेदन पर स्थित होता है।
मैट्रिक्स को सामान्य रूप से बड़े अक्षर से दर्शाया जाता है, जैसे $A$। मैट्रिक्स के अलग-अलग तत्वों को अनुक्रमांक द्वारा दर्शाया जाता है, जैसे $a_{12}$ पहली पंक्ति और दूसरे स्तंभ में स्थित तत्व है।
$$ A = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \dots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \dots & a_{mn} \end{bmatrix} $$
मैट्रिक्स के आकार को $m \times n$ के रूप में व्यक्त किया जाता है। उदाहरण के लिए, $3 \times 4$ आकार की मैट्रिक्स में 3 पंक्तियां और 4 स्तंभ होंगे। मैट्रिक्स में तत्वों की संख्या $m$ और $n$ को गुणा करके ज्ञात की जा सकती है कैलकुलेटर का उपयोग करके: $3 \cdot 4 = 12$।
मैट्रिक्स जोड़ना और घटाना
मैट्रिक्स जोड़ना और घटाना एक प्रक्रिया है जिसमें क्रमश: मैट्रिक्स के संबंधित तत्वों को जोड़ा या घटाया जाता है। इसके लिए यह आवश्यक है कि दोनों मैट्रिक्स के आकार समान हों, यानी उनमें पंक्तियों और स्तंभों की संख्या बराबर हो।
मैट्रिक्स जोड़ने का उदाहरण:
$$ \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \end{bmatrix} \ + \ \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 3 & 2 & 1 \end{bmatrix} \ = \ $$
$$ \ = \ \begin{bmatrix} 1+1 & 2+2 & 3+3 \\ 4+3 & 5+2 & 6+1 \end{bmatrix} \ = \ $$
$$ \ = \ \begin{bmatrix} 2 & 4 & 6 \\ 7 & 7 & 7 \end{bmatrix} $$
2nd [ [ 1 , 2 , 3 ]
[ 4 , 5 , 6 ] ]
+ [ [ 1 , 2 , 3 ]
[ 3 , 2 , 1 ] ] =
मैट्रिक्स घटाने का उदाहरण:
$$ \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \end{bmatrix} \ - \ \begin{bmatrix} 3 & 2 & 1 \\ 1 & 2 & 3 \end{bmatrix} \ = \ $$
$$\ = \ \begin{bmatrix} 1-3 & 2-2 & 3-1 \\ 4-1 & 5-2 & 6-3 \end{bmatrix} \ = \ $$
$$\ = \ \begin{bmatrix} -2 & 0 & 2 \\ 3 & 3 & 3 \end{bmatrix} $$
2nd [ [ 1 , 2 , 3 ]
[ 4 , 5 , 6 ] ]
- [ [ 3 , 2 , 1 ]
[ 1 , 2 , 3 ] ] =
मैट्रिक्स गुणा
दो मैट्रिक्स का गुणा एक ऐसी नई मैट्रिक्स बनाने की प्रक्रिया है जिसे मैट्रिक्स का गुणनफल कहा जाता है। इस मैट्रिक्स का प्रत्येक तत्व पहली मैट्रिक्स की संबंधित पंक्ति और दूसरी मैट्रिक्स के संबंधित स्तंभ के तत्वों के गुणनफलों के योग के बराबर होता है। मैट्रिक्स को गुणा करने के लिए पहली मैट्रिक्स के स्तंभों की संख्या दूसरी मैट्रिक्स की पंक्तियों की संख्या के बराबर होनी चाहिए।
मैट्रिक्स गुणा करने का उदाहरण:
$$ \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \end{bmatrix} \ \cdot \ \begin{bmatrix} 7 & 8 \\ 9 & 10 \\ 11 & 12 \end{bmatrix} \ = \ $$
$$ \ = \ \begin{bmatrix} 1 \cdot 7 + 2 \cdot 9 + 3 \cdot 11 & 1 \cdot 8 + 2 \cdot 10 + 3 \cdot 12 \\ 4 \cdot 7 + 5 \cdot 9 + 6 \cdot 11 & 4 \cdot 8 + 5 \cdot 10 + 6 \cdot 12 \end{bmatrix} \ = \ $$
$$\ = \ \begin{bmatrix} 58 & 64 \\ 139 & 154 \end{bmatrix} $$
2nd [ [ 1 , 2 , 3 ]
[ 4 , 5 , 6 ] ]
2nd × 2nd [ [ 7 , 8 ]
[ 9 , 1 0 ]
[ 1 1 , 1 2 ] ] =
मैट्रिक्स की निर्धारक
मैट्रिक्स की निर्धारक ($det(A)$ या $|A|$) एक ऐसी मात्रा है जो वर्ग मैट्रिक्स के गुणों को व्यक्त करती है।
निर्धारक गणना करने का उदाहरण (det को कैलकुलेटर स्क्रीन के नीचे खाली फ़ील्ड में अपने कंप्यूटर की कीबोर्ड से टाइप करना होगा):
$$ |A| = \begin{vmatrix} 1 & -2 & 3 \\ 4 & 0 & 6 \\ -7 & 8 & 9 \end{vmatrix} = 204 $$
d e t ( 2nd [
[ 1 , - 2 , 3 ]
[ 4 , 0 , 6 ]
[ - 7 , 8 , 9 ]
] 2nd ) =
मैट्रिक्स अनुप्रस्थ करना
परिवहन एक संचालन है जिसमें मूल मैट्रिक्स की पंक्तियां और स्तंभ आपस में बदल जाते हैं, यानी पंक्तियां स्तंभ बन जाती हैं और स्तंभ पंक्तियां। यदि $A$ मूल मैट्रिक्स है, तो परिवहित मैट्रिक्स को $A^T$ दर्शाया जाता है। यदि मूल मैट्रिक्स $A$ का आकार $m \times n$ है, तो परिवहित मैट्रिक्स $A^T$ का आकार $n \times m$ होगा।
$$ A = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \dots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \dots & a_{mn} \end{bmatrix} $$
परिवहित मैट्रिक्स $A^T$ प्राप्त करने के लिए, आपको मूल मैट्रिक्स $A$ की पंक्तियों और स्तंभों को आपस में बदलना होगा। इसके लिए निम्न कार्य करने होंगे।
पहली पंक्ति के तत्वों $a_{11}$ से $a_{1n}$ तक को लें और परिवहित मैट्रिक्स $A^T$ के पहले स्तंभ के रूप में लिखें:
$$ A^T = \begin{bmatrix} a_{11} \\ a_{12} \\ \vdots \\ a_{1n} \end{bmatrix} $$
दूसरी पंक्ति के तत्वों $a_{21}$ से $a_{2n}$ तक को लें और उन्हें $A^T$ के दूसरे स्तंभ के रूप में लिखें:
$$ A^T = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{21} \\ a_{12} & a_{22} \\ \vdots & \vdots \\ a_{1n} & a_{2n} \end{bmatrix} $$
इस प्रक्रिया को दोहराएं जब तक मैट्रिक्स $A$ की सभी पंक्तियां $A^T$ के स्तंभों के रूप में न लिख दी जाएं:
$$ A^T = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{21} & \dots & a_{m1} \\ a_{12} & a_{22} & \dots & a_{m2} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{1n} & a_{2n} & \dots & a_{mn} \end{bmatrix} $$
इस प्रकार, परिवहित मैट्रिक्स $A^T$ के तत्व $a^T_{ij}$, मूल मैट्रिक्स $A$ के तत्व $a_{ji}$ के बराबर होंगे।
मैट्रिक्स परिवहन का उदाहरण:
$$ A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \\ 5 & 6 \end{bmatrix} \ \ A^T = \begin{bmatrix} 1 & 3 & 5 \\ 2 & 4 & 6 \end{bmatrix} $$