Kalkulator jednadžbi
Pomoću ovog kalkulatora moći ćete online riješiti linearnu, kvadratnu ili kubnu jednadžbu. Primjere izračuna možete pronaći u odgovarajućem odjeljku.
Rješavanje jednadžbi
Jednadžba je jednakost s varijablom (ili nepoznanicom). Jednadžba s jednom varijablom $x$ općenito se zapisuje na sljedeći način: $f(x) = g(x)$.
Rješenje (ili korijen) jednadžbe je vrijednost varijable pri kojoj se jednadžba pretvara u točnu brojčanu jednakost. Riješiti jednadžbu znači pronaći sva njezina rješenja ili dokazati da ih nema.
Kako riješiti jednadžbu na kalkulatoru: prvo unesite dio jednadžbe prije znaka =, pritisnite gumb x=y, unesite preostali dio jednadžbe, pritisnite gumb = da biste izvršili izračun. Primjerice, za jednadžbu $2x - 4 = 0$, korijen je $x = 2$. Evo kako je taj rezultat dobiven pomoću kalkulatora jednadžbi:
$$2x - 4 = 0 \\ \Downarrow \\ x = 2$$
2 x - 4 x=y 0 =
Linearne jednadžbe
Linearna jednadžba s jednom nepoznanicom je jednadžba sljedećeg oblika:
$$ax + b = 0,$$
gdje su
- $x$ - nepoznanica,
- $a$ - koeficijent nepoznanice,
- $b$ - slobodni član jednadžbe.
Linearne jednadžbe najjednostavniji su oblik algebarskih jednadžbi, a njihovo rješavanje svodi se na izvođenje jednostavnih aritmetičkih operacija.
Primjeri rješavanja:
$$4x - 16 = 0 \\ \Downarrow \\ x = 4$$
4 x - 1 6 x=y 0 =
$$3x + 2 = 6 - x \\ \Downarrow \\ x = 1$$
3 x + 2 x=y 6 - x =
Kvadratne jednadžbe
Kvadratna jednadžba je jednadžba sljedećeg oblika:
$$ax^2 + bx + c = 0 \ \ \ (a \ne 0)$$
Rješavanje kvadratnih jednadžbi na kalkulatoru:
$$4x^2 - 6x + 2 = 0 \\ \Downarrow \\ x_1 = 1, \ x_2 = 0.5$$
4 x x2 - 6 x
+ 2 x=y 0 =
$$x^2 - 3x - 4 = 0 \\ \Downarrow \\ x_1 = 4, \ x_2 = -1$$
x x2 - 3 x - 4 x=y 0 =
$$x^2 - 4x + 4 = 0 \\ \Downarrow \\ x_1 = x_2 = x = 2$$
x x2 - 4 x + 4 x=y 0 =
Odnosi koeficijenata
Postoje kvadratne jednadžbe čiji su koeficijenti u odnosima koji omogućuju rješavanje tih jednadžbi na mnogo jednostavniji način.
$$a + b + c = 0 \\ \Downarrow \\ x_1 = 1, \ x_2 = \frac {c} {a}$$
$$a + c = b \\ \Downarrow \\ x_1 = -1, \ x_2 = - \frac {c} {a}$$
Korijene takvih jednadžbi moguće je pronaći i pomoću običnog kalkulatora.
Diskriminanta
Diskriminanta se primjenjuje za pronalaženje korijena kvadratne jednadžbe. Formula za izračun diskriminante:
$$D = b^2 - 4ac$$
Formula za izračun korijena uz pomoć diskriminante:
$$x_{1,2} = \frac {-b \pm \sqrt D} {2a}$$
Ako je $D > 0$, jednadžba ima dva različita korijena. Primjerice:
$$4x^2 - 6x + 2 = 0 \\ \Downarrow \\ a = 4, \ b = -6, \ c = 2 \\ \Downarrow \\ D = (-6)^2 - 4 × 4 × 2 = 4 \\ \Downarrow \\ x_{1,2} = \frac {-(-6) \pm \sqrt 4} {2 × 4} \\ \Downarrow \\ x_1 = \frac {6 + 2} {8} = 1, \ x_2 = \frac {6 - 2} {8} = 0.5$$
Ako je $D = 0$, jednadžba ima jedan korijen (ili dva jednaka korijena). Primjerice:
$$x^2 - 4x + 4 = 0 \\ \Downarrow \\ a = 1, \ b = -4, \ c = 4 \\ \Downarrow \\ D = (-4)^2 - 4 × 1 × 4 = 0 \\ \Downarrow \\ x_{1,2} = \frac {-(-4) \pm \sqrt 0} {2 × 1} \\ \Downarrow \\ x_1 = x_2 = x = \frac {4 \pm 0} {2} = 2$$
Ako je $D < 0$, jednadžba nema korijena u skupu realnih brojeva:
$$x^2 + 4x + 5 = 0 \\ \Downarrow \\ a = 1, \ b = 4, \ c = 5 \\ \Downarrow \\ D = 6^2 - 4 × 1 × 5 = -4 \\ \Downarrow \\ x_{1,2} = \frac {-4 \pm \sqrt {-4}} {2 × 1} \\ \Downarrow \\ x_1 = \frac {-4 + 2i} {2} = -2 + i, \\ x_2 = \frac {-4 - 2i} {2} = -2 - i$$
Vietina formula
Vietina formula uspostavlja jednostavne algebarske odnose (Vietine formule) između korijena kvadratne jednadžbe $x_1, x_2$ i njezinih koeficijenata $a, b, c$. Koristeći te formule, moguće je pronaći korijene ako su poznati koeficijenti ili izračunati koeficijente ako su poznati korijeni.
Vietine formule:
$$\begin {cases} x_1 + x_2 = - \dfrac {b} {a} \\ x_1 x_2 = \dfrac {c} {a} \end {cases}$$
Bikvadratne jednadžbe
Bikvadratna jednadžba je jednadžba sljedećeg oblika:
$$ax^4 + bx^2 + c = 0 \ \ \ (a \ne 0)$$
Ako se izvrši zamjena $x^2$ za $y \ (y \ge 0)$, dobiva se kvadratna jednadžba za koju se mogu pronaći korijeni $y_1, y_2$. Korijeni bikvadratne jednadžbe nalaze se na sljedeći način:
$$x_{1,2} = \pm \sqrt {y_1}, \ \ \ x_{3,4} = \pm \sqrt {y_2}$$
Kubne jednadžbe
Kubna jednadžba je jednadžba sljedećeg oblika:
$$ax^3 + bx^2 + cx + d = 0 \ \ \ (a \ne 0)$$
Primjer rješavanja:
$$x^3 - 6x^2 - 31x + 120 = 0 \\ \Downarrow \\ x_1 = -5, x_2 = 3, x_3 = 8$$
x x3 - 6 x x2 - 3 1 x
+ 1 2 0 x=y 0 =
Ako se kubna jednadžba podijeli s $a$ i zamijeni $x$ s $y - \frac {b} {3a}$, ona će poprimiti sljedeći jednostavniji oblik:
$$y^3 + py + q = 0,$$
gdje je
$y = x + \frac {b} {3a}$,
$p = \frac {c} {a} - \frac {b^2} {3a^2} = \frac {3ac - b^2} {3a^2}$,
$q = \frac {2b^3} {27a^3} - \frac {bc} {3a^2} + \frac {d} {a} = \frac {2b^3 - 9abc + 27a^2d} {27a^3}$.
Cardanova formula
Ako kubna jednadžba ima sljedeći oblik:
$$y^3 + py + q = 0,$$
za pronalaženje korijena te jednadžbe može se primijeniti Cardanova formula:
$$x = \sqrt[3] {- \frac {q} {2} + \sqrt {\frac {q^2} {4} + \frac {p^3} {27}}} + \\ + \ \sqrt[3] {- \frac {q} {2} - \sqrt {\frac {q^2} {4} + \frac {p^3} {27}}}$$