Kalkulator matrica
Ovim kalkulatorom moći ćete zbrajati, oduzimati ili množiti matrice, kao i izračunati determinantu matrice. Da biste izvršili potrebne izračune, morate uzastopno pritisnuti gumbe navedene ispod primjera u odgovarajućem odjeljku.
Transponiranje matrice možete lako izvršiti čak i bez kalkulatora, jednostavno slijedite detaljne upute.
Što je matrica u matematici
Matrica je pravokutna tablica bilo kakvih elemenata (brojeva, simbola ili izraza) koja se sastoji od $m$ redova i $n$ stupaca. Svaki element matrice nalazi se na sjecištu određenog retka i stupca.
Matrica se obično označava velikim slovom, npr. $A$. Pojedinačni elementi matrice označavaju se indeksima, npr. $a_{12}$ - element smješten u prvom retku i drugom stupcu.
$$ A = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \dots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \dots & a_{mn} \end{bmatrix} $$
Veličina matrice označava se kao $m \times n$. Primjerice, matrica veličine $3 \times 4$ imat će 3 reda i 4 stupca. Broj elemenata u matrici može se doznati množenjem $m$ sa $n$ na običnom kalkulatoru: $3 \cdot 4 = 12$.
Zbrajanje i oduzimanje matrica
Zbrajanje i oduzimanje matrica operacije su kod kojih se odgovarajući elementi matrica zbrajaju ili oduzimaju. Pritom je potrebno da matrice imaju istu veličinu, tj. da imaju isti broj redova i stupaca.
Primjer zbrajanja matrica:
$$ \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \end{bmatrix} \ + \ \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 3 & 2 & 1 \end{bmatrix} \ = \ $$
$$ \ = \ \begin{bmatrix} 1+1 & 2+2 & 3+3 \\ 4+3 & 5+2 & 6+1 \end{bmatrix} \ = \ $$
$$ \ = \ \begin{bmatrix} 2 & 4 & 6 \\ 7 & 7 & 7 \end{bmatrix} $$
2nd [ [ 1 , 2 , 3 ]
[ 4 , 5 , 6 ] ]
+ [ [ 1 , 2 , 3 ]
[ 3 , 2 , 1 ] ] =
Primjer oduzimanja matrica:
$$ \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \end{bmatrix} \ - \ \begin{bmatrix} 3 & 2 & 1 \\ 1 & 2 & 3 \end{bmatrix} \ = \ $$
$$\ = \ \begin{bmatrix} 1-3 & 2-2 & 3-1 \\ 4-1 & 5-2 & 6-3 \end{bmatrix} \ = \ $$
$$\ = \ \begin{bmatrix} -2 & 0 & 2 \\ 3 & 3 & 3 \end{bmatrix} $$
2nd [ [ 1 , 2 , 3 ]
[ 4 , 5 , 6 ] ]
- [ [ 3 , 2 , 1 ]
[ 1 , 2 , 3 ] ] =
Množenje matrica
Množenje dviju matrica operacija je izračunavanja nove matrice koja se naziva umnoškom matrica. Svaki element te matrice jednak je zbroju umnoška elemenata u odgovarajućem retku prve matrice i stupcu druge matrice. Za množenje matrica potrebno je da broj stupaca u prvoj matrici bude jednak broju redaka u drugoj matrici.
Primjer množenja matrica:
$$ \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \end{bmatrix} \ \cdot \ \begin{bmatrix} 7 & 8 \\ 9 & 10 \\ 11 & 12 \end{bmatrix} \ = \ $$
$$ \ = \ \begin{bmatrix} 1 \cdot 7 + 2 \cdot 9 + 3 \cdot 11 & 1 \cdot 8 + 2 \cdot 10 + 3 \cdot 12 \\ 4 \cdot 7 + 5 \cdot 9 + 6 \cdot 11 & 4 \cdot 8 + 5 \cdot 10 + 6 \cdot 12 \end{bmatrix} \ = \ $$
$$\ = \ \begin{bmatrix} 58 & 64 \\ 139 & 154 \end{bmatrix} $$
2nd [ [ 1 , 2 , 3 ]
[ 4 , 5 , 6 ] ]
2nd × 2nd [ [ 7 , 8 ]
[ 9 , 1 0 ]
[ 1 1 , 1 2 ] ] =
Determinanta matrice
Determinanta matrice ($det(A)$ ili $|A|$) veličina je koja karakterizira svojstva kvadratne matrice.
Primjer izračunavanja determinante (det je potrebno unijeti u prazno polje ispod zaslona kalkulatora pomoću tipkovnice vašeg računala):
$$ |A| = \begin{vmatrix} 1 & -2 & 3 \\ 4 & 0 & 6 \\ -7 & 8 & 9 \end{vmatrix} = 204 $$
d e t ( 2nd [
[ 1 , - 2 , 3 ]
[ 4 , 0 , 6 ]
[ - 7 , 8 , 9 ]
] 2nd ) =
Transponiranje matrice
Transponiranje je operacija u kojoj se redovi i stupci izvorišne matrice zamjenjuju mjestima, tj. redovi postaju stupcima, a stupci redovima. Ako je $A$ izvorna matrica, onda se transponirana matrica označava kao $A^T$. Ako izvorna matrica $A$ ima veličinu $m \times n$, transponirana matrica $A^T$ imat će veličinu $n \times m$.
$$ A = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \dots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \dots & a_{mn} \end{bmatrix} $$
Da biste dobili transponiranu matricu $A^T$, morate zamijeniti mjesta redova i stupaca izvorne matrice $A$. Za to trebate izvršiti sljedeće radnje.
Uzmite elemente prvog retka od $a_{11}$ do $a_{1n}$ i zapišite ih kao prvi stupac transponirane matrice $A^T$:
$$ A^T = \begin{bmatrix} a_{11} \\ a_{12} \\ \vdots \\ a_{1n} \end{bmatrix} $$
Uzmite elemente drugog retka od $a_{21}$ do $a_{2n}$ i zapišite ih kao drugi stupac $A^T$:
$$ A^T = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{21} \\ a_{12} & a_{22} \\ \vdots & \vdots \\ a_{1n} & a_{2n} \end{bmatrix} $$
Ponavljajte ovaj korak za sve retke matrice $A$ dok ne budu zapisani kao stupci $A^T$:
$$ A^T = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{21} & \dots & a_{m1} \\ a_{12} & a_{22} & \dots & a_{m2} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{1n} & a_{2n} & \dots & a_{mn} \end{bmatrix} $$
Na taj način, elementi $a^T_{ij}$ transponirane matrice $A^T$ odgovaraju elementima $a_{ji}$ izvorne matrice $A$.
Primjer transponiranja matrice:
$$ A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \\ 5 & 6 \end{bmatrix} \ \ A^T = \begin{bmatrix} 1 & 3 & 5 \\ 2 & 4 & 6 \end{bmatrix} $$