Egyenletkalkulátor
Ezzel a kalkulátorral lineáris, négyzetes vagy köbös egyenletet oldhat meg online. A számítási példákat a megfelelő szakaszban találhatja.
Egyenletek megoldása
Az egyenlet egy egyenlőség változóval (vagy ismeretlennel). Egy $x$ változós egyenletet általánosan így szokás felírni: $f(x) = g(x)$.
Az egyenlet megoldásának (vagy gyökének) azt az értéket nevezzük, amelynél az egyenlet igaz számegyenlőséggé válik. Megoldani egy egyenletet annyit jelent, mint megtalálni az összes megoldását, vagy bebizonyítani, hogy nincs megoldása.
Hogyan oldható meg az egyenlet a kalkulátoron: először írja be az egyenlet részét az = jel előtt, nyomja meg az x=y gombot, írja be a maradék részt, majd nyomja meg a = gombot a kiszámításhoz. Például a $2x - 4 = 0$ egyenlet gyöke $x = 2$. Íme, hogyan kaptuk ezt az eredményt az egyenletkalkulátorral:
$$2x - 4 = 0 \\ \Downarrow \\ x = 2$$
2 x - 4 x=y 0 =
Lineáris egyenletek
Az egyismeretlenes lineáris egyenlet a következő alakú:
$$ax + b = 0,$$
ahol
- $x$ az ismeretlen,
- $a$ az ismeretlen együtthatója,
- $b$ az egyenlet konstans tagja.
A lineáris egyenletek az algebrai egyenletek legegyszerűbb fajtái, amelyek megoldása egyszerű aritmetikai műveletekre vezethető vissza.
Példák a megoldásra:
$$4x - 16 = 0 \\ \Downarrow \\ x = 4$$
4 x - 1 6 x=y 0 =
$$3x + 2 = 6 - x \\ \Downarrow \\ x = 1$$
3 x + 2 x=y 6 - x =
Négyzetes egyenletek
A négyzetes egyenlet a következő alakú:
$$ax^2 + bx + c = 0 \ \ \ (a \ne 0)$$
Négyzetes egyenletek megoldása a kalkulátoron:
$$4x^2 - 6x + 2 = 0 \\ \Downarrow \\ x_1 = 1, \ x_2 = 0.5$$
4 x x2 - 6 x
+ 2 x=y 0 =
$$x^2 - 3x - 4 = 0 \\ \Downarrow \\ x_1 = 4, \ x_2 = -1$$
x x2 - 3 x - 4 x=y 0 =
$$x^2 - 4x + 4 = 0 \\ \Downarrow \\ x_1 = x_2 = x = 2$$
x x2 - 4 x + 4 x=y 0 =
Együtthatók aránya
Vannak olyan négyzetes egyenletek, amelyek együtthatói olyan arányban állnak, ami lehetővé teszi ezen egyenletek sokkal egyszerűbb megoldását.
$$a + b + c = 0 \\ \Downarrow \\ x_1 = 1, \ x_2 = \frac {c} {a}$$
$$a + c = b \\ \Downarrow \\ x_1 = -1, \ x_2 = - \frac {c} {a}$$
Ezeknek az egyenleteknek a gyökeit egy szokásos kalkulátorral is meg lehet találni.
Diszkrimináns
A diszkrimináns a négyzetes egyenlet gyökeinek megtalálására szolgál. A diszkrimináns képlete:
$$D = b^2 - 4ac$$
A gyökök képlete a diszkrimináns felhasználásával:
$$x_{1,2} = \frac {-b \pm \sqrt D} {2a}$$
Ha $D > 0$, akkor az egyenletnek két különböző gyöke van. Például:
$$4x^2 - 6x + 2 = 0 \\ \Downarrow \\ a = 4, \ b = -6, \ c = 2 \\ \Downarrow \\ D = (-6)^2 - 4 × 4 × 2 = 4 \\ \Downarrow \\ x_{1,2} = \frac {-(-6) \pm \sqrt 4} {2 × 4} \\ \Downarrow \\ x_1 = \frac {6 + 2} {8} = 1, \ x_2 = \frac {6 - 2} {8} = 0.5$$
Ha $D = 0$, akkor az egyenletnek egy gyöke van (vagy két egyenlő gyöke). Például:
$$x^2 - 4x + 4 = 0 \\ \Downarrow \\ a = 1, \ b = -4, \ c = 4 \\ \Downarrow \\ D = (-4)^2 - 4 × 1 × 4 = 0 \\ \Downarrow \\ x_{1,2} = \frac {-(-4) \pm \sqrt 0} {2 × 1} \\ \Downarrow \\ x_1 = x_2 = x = \frac {4 \pm 0} {2} = 2$$
Ha $D < 0$, akkor az egyenletnek nincs valós gyöke:
$$x^2 + 4x + 5 = 0 \\ \Downarrow \\ a = 1, \ b = 4, \ c = 5 \\ \Downarrow \\ D = 6^2 - 4 × 1 × 5 = -4 \\ \Downarrow \\ x_{1,2} = \frac {-4 \pm \sqrt {-4}} {2 × 1} \\ \Downarrow \\ x_1 = \frac {-4 + 2i} {2} = -2 + i, \\ x_2 = \frac {-4 - 2i} {2} = -2 - i$$
Viète-tétel
A Viète-tétel egyszerű algebrai összefüggéseket (Viète-formulák) állapít meg a négyzetes egyenlet $x_1, x_2$ gyökei és $a, b, c$ együtthatói között. Ezeket a formulákat felhasználva megtalálhatjuk a gyököket, ha ismertek az együtthatók, vagy kiszámíthatjuk az együtthatókat, ha ismertek a gyökök.
Viète-formulák:
$$\begin {cases} x_1 + x_2 = - \dfrac {b} {a} \\ x_1 x_2 = \dfrac {c} {a} \end {cases}$$
Bikvadratikus egyenletek
A bikvadratikus egyenlet a következő alakú:
$$ax^4 + bx^2 + c = 0 \ \ \ (a \ne 0)$$
Ha az $x^2$-t $y$-nal helyettesítjük ($y \ge 0$), akkor egy négyzetes egyenletet kapunk, amelynek megtalálhatók $y_1, y_2$ gyökei. A bikvadratikus egyenlet gyökei így találhatók meg:
$$x_{1,2} = \pm \sqrt {y_1}, \ \ \ x_{3,4} = \pm \sqrt {y_2}$$
Köbös egyenletek
A köbös egyenlet a következő alakú:
$$ax^3 + bx^2 + cx + d = 0 \ \ \ (a \ne 0)$$
Példa a megoldásra:
$$x^3 - 6x^2 - 31x + 120 = 0 \\ \Downarrow \\ x_1 = -5, x_2 = 3, x_3 = 8$$
x x3 - 6 x x2 - 3 1 x
+ 1 2 0 x=y 0 =
Ha a köbös egyenletet elosztjuk $a$-val, és $x$-et $y - \frac {b} {3a}$-ra cseréljük, akkor ez az egyszerűbb alak adódik:
$$y^3 + py + q = 0,$$
ahol
$y = x + \frac {b} {3a}$,
$p = \frac {c} {a} - \frac {b^2} {3a^2} = \frac {3ac - b^2} {3a^2}$,
$q = \frac {2b^3} {27a^3} - \frac {bc} {3a^2} + \frac {d} {a} = \frac {2b^3 - 9abc + 27a^2d} {27a^3}$.
Cardano formulája
Ha a köbös egyenlet a következő alakú:
$$y^3 + py + q = 0,$$
akkor a gyökeit a Cardano-formulával lehet megtalálni:
$$x = \sqrt[3] {- \frac {q} {2} + \sqrt {\frac {q^2} {4} + \frac {p^3} {27}}} + \\ + \ \sqrt[3] {- \frac {q} {2} - \sqrt {\frac {q^2} {4} + \frac {p^3} {27}}}$$