Integrál kalkulátor

Ezzel a kalkulátorral kiszámíthatja a határozatlan vagy határozott integrált. A számítási példákat a megfelelő szakaszban találhatja.

Néhány alapvető integrált nem kell kiszámítani, hanem közvetlenül megtalálhatja a primitív függvényt a táblázatban.

Primitív függvény

Az $f(x)$ függvény primitív függvénye olyan $F(x)$ függvény, amelynek deriváltja egyenlő $f(x)$-szel, azaz $F^{\prime}(x) = f(x)$. A primitív függvény megkeresése a deriválás inverzművelete.

Ha $F(x)$ az $f(x)$ primitív függvénye, akkor az $F(x) + C$ függvény is primitív függvénye $f(x)$-nek, ahol $C$ egy tetszőleges állandó.

Határozatlan integrál

Az $f(x)$ függvény határozatlan integrálja az $f(x)$ összes primitív függvényének összessége. Ezt így jelölik:

$$\int f(x) dx = F(x) + C,$$

ahol

$\int$ az integrál jele
$f(x)$ az integrandus függvény
$dx$ az integrálási elem
$F(x)$ a primitív függvény
$C$ az integrálási állandó

Az integrálképzés folyamatát integrálásnak nevezik.

Tulajdonságok

A határozatlan integrál alapvető tulajdonságai:

$$\int a \cdot f(x) dx = \\ = a \cdot \int f(x) dx \ \ \ (a \ne 0)$$

$$\int (f(x) \pm g(x)) dx = \\ = \int f(x) dx \pm \int g(x) dx$$

Számítási példák

Alább néhány példa a határozatlan integrálok kiszámítására. Ezeknek a kalkulátorban történő kiszámításához sorban meg kell nyomni a példák alatt megadott gombokat. Megjegyzés: gépelje be a int szót a kalkulátor képernyője alatti üres mezőbe a számítógép billentyűzetének használatával.

$$\int x^3 dx = \frac {x^4} {4} + C$$

i n t ( x x^y 3 ) =

$$\int \sin 7x dx = - \frac {\cos 7x} {7} + C$$

i n t ( sin 7 x ) =

$$\int x^3 y dy = \frac {x^3 y^2} {2} + C$$

i n t ( x x^3 y , y ) =

Integrálok táblázata

Az alapvető határozatlan integrálok és a hozzájuk tartozó primitív függvények táblázata:

$\int f(x) dx$	$F(x) + C$
$$\int 0 \cdot dx$$	$$C$$
$$\int dx$$	$$x + C$$
$$\int x^n dx$$	$$\frac {x^{n + 1}} {n + 1} + C \ \ \ (n \ne -1)$$
$$\int \frac {1} {x} dx$$	$$\ln \| x \| + C$$
$$\int e^x dx$$	$$e^x + C$$
$$\int a^x dx$$	$$\frac {a^x} {\ln a} + C \ \ \ (a > 0, a \ne 1)$$
$$\int \cos x dx$$	$$\sin x + C$$
$$\int \sin x dx$$	$$- \cos x + C$$
$$\int \frac {dx} {\cos^2 x}$$	$$\tg x + C$$
$$\int \frac {dx} {\sin^2 x}$$	$$- \ctg x + C$$
$$\int \frac {dx} {\sqrt {1 - x^2}}$$	$$\begin{gathered} \arcsin x + C_1 = \\ = - \arccos x + C_2 \\ (C_2 = \frac {\pi} {2} + C_1) \end{gathered}$$
$$\int \frac {dx} {1 + x^2}$$	$$\arctg x + C$$
$$\int \ch x dx$$	$$\sh x + C$$
$$\int \sh x dx$$	$$\ch x + C$$

Határozott integrál

Ha $F(x)$ az $f(x)$ függvény primitív függvénye, amely a $[a;b]$ intervallumon definiált és folytonos, akkor a határozott integrált a következő képlet szerint számítják:

$$\int _a^b f(x) dx = F(x) \mid _a^b = F(b) - F(a)$$

Tulajdonságok

A határozott integrál alapvető tulajdonságai:

$$\int _a^a f(x) dx = 0$$

$$\int _a^b f(x) dx = - \int _b^a f(x) dx$$

$$\int _a^b f(x) dx = \int _a^c f(x) dx + \\ + \int _c^b f(x) dx \ \ \ (c \in [a;b])$$

Számítási példák

Alább néhány példa a határozott integrálok kiszámítására. Ezeknek a kalkulátorban történő kiszámításához sorban meg kell nyomni a példák alatt megadott gombokat. Megjegyzés: gépelje be a int szót a kalkulátor képernyője alatti üres mezőbe a számítógép billentyűzetének használatával.

$$\int _1^3 (5 + x) dx = 14$$

i n t ( 5 + x ,
x 2^nd var 1 . . 3 2^nd ) =

$$\int _5^8 x^2 dx = 129$$

i n t ( x x² ,
x 2^nd var 5 . . 8 2^nd ) =