Mátrix-kalkulátor
Ezzel a kalkulátorral összeadhatja, kivonhatja vagy szorzatba állíthatja a mátrixokat, valamint kiszámíthatja a mátrix determinánsát. A szükséges számítások elvégzéséhez egymás után kell megnyomnia a gombokat, amelyek a megfelelő szakaszban lévő példa alatt vannak feltüntetve.
A mátrix transzponálását könnyen elvégezheti kalkulátor nélkül is, csak kövesse a részletes utasításokat.
Mi az a mátrix a matematikában?
A mátrix egy téglalap alakú tábla, amely bizonyos elemekből (számokból, szimbólumokból vagy kifejezésekből) áll, $m$ sort és $n$ oszlopot tartalmaz. A mátrix minden egyes eleme egy adott sor és oszlop metszéspontjában helyezkedik el.
A mátrixot általában nagy betűvel jelölik, például $A$. A mátrix egyes elemeit indexekkel jelölik, például $a_{12}$ az első sorban és a második oszlopban lévő elemet jelöli.
$$ A = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \dots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \dots & a_{mn} \end{bmatrix} $$
A mátrix méretét $m \times n$ formában jelölik. Például egy $3 \times 4$ méretű mátrix 3 sort és 4 oszlopot tartalmaz. A mátrixban lévő elemek számát úgy kaphatjuk meg, hogy $m$-et megszorozzuk $n$-nel egy normál kalkulátoron: $3 \cdot 4 = 12$.
Mátrixok összeadása és kivonása
A mátrixok összeadása és kivonása olyan művelet, amelynél a megfelelő mátrixelemeket összeadjuk vagy kivonjuk. Ehhez szükséges, hogy a mátrixoknak azonos méretűnek kell lenniük, vagyis ugyanannyi soruk és oszlopuk legyen.
Példa mátrixok összeadására:
$$ \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \end{bmatrix} \ + \ \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 3 & 2 & 1 \end{bmatrix} \ = \ $$
$$ \ = \ \begin{bmatrix} 1+1 & 2+2 & 3+3 \\ 4+3 & 5+2 & 6+1 \end{bmatrix} \ = \ $$
$$ \ = \ \begin{bmatrix} 2 & 4 & 6 \\ 7 & 7 & 7 \end{bmatrix} $$
2nd [ [ 1 , 2 , 3 ]
[ 4 , 5 , 6 ] ]
+ [ [ 1 , 2 , 3 ]
[ 3 , 2 , 1 ] ] =
Példa mátrixok kivonására:
$$ \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \end{bmatrix} \ - \ \begin{bmatrix} 3 & 2 & 1 \\ 1 & 2 & 3 \end{bmatrix} \ = \ $$
$$\ = \ \begin{bmatrix} 1-3 & 2-2 & 3-1 \\ 4-1 & 5-2 & 6-3 \end{bmatrix} \ = \ $$
$$\ = \ \begin{bmatrix} -2 & 0 & 2 \\ 3 & 3 & 3 \end{bmatrix} $$
2nd [ [ 1 , 2 , 3 ]
[ 4 , 5 , 6 ] ]
- [ [ 3 , 2 , 1 ]
[ 1 , 2 , 3 ] ] =
Mátrixok szorzása
Két mátrix szorzása olyan művelet, amelynek eredménye egy új mátrix, amelyet mátrixszorzatnak nevezünk. Ennek a mátrixnak minden egyes eleme egyenlő az első mátrix megfelelő sorában és a második mátrix megfelelő oszlopában lévő elemek szorzatainak összegével. A mátrixok szorzásához szükséges, hogy az első mátrix oszlopainak száma megegyezzen a második mátrix sorainak számával.
Példa mátrixok szorzására:
$$ \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \end{bmatrix} \ \cdot \ \begin{bmatrix} 7 & 8 \\ 9 & 10 \\ 11 & 12 \end{bmatrix} \ = \ $$
$$ \ = \ \begin{bmatrix} 1 \cdot 7 + 2 \cdot 9 + 3 \cdot 11 & 1 \cdot 8 + 2 \cdot 10 + 3 \cdot 12 \\ 4 \cdot 7 + 5 \cdot 9 + 6 \cdot 11 & 4 \cdot 8 + 5 \cdot 10 + 6 \cdot 12 \end{bmatrix} \ = \ $$
$$\ = \ \begin{bmatrix} 58 & 64 \\ 139 & 154 \end{bmatrix} $$
2nd [ [ 1 , 2 , 3 ]
[ 4 , 5 , 6 ] ]
2nd × 2nd [ [ 7 , 8 ]
[ 9 , 1 0 ]
[ 1 1 , 1 2 ] ] =
Mátrix determináns
A mátrix determinánsát ($det(A)$ vagy $|A|$) az a mennyiség jelöli, amely jellemzi a négyzetes mátrix tulajdonságait.
Példa a determináns kiszámítására (det-et be kell írni a kalkulátor képernyője alatti üres mezőbe, a számítógép billentyűzetét használva):
$$ |A| = \begin{vmatrix} 1 & -2 & 3 \\ 4 & 0 & 6 \\ -7 & 8 & 9 \end{vmatrix} = 204 $$
d e t ( 2nd [
[ 1 , - 2 , 3 ]
[ 4 , 0 , 6 ]
[ - 7 , 8 , 9 ]
] 2nd ) =
Mátrix transzponálása
A transzponálás az a művelet, amelyben az eredeti mátrix sorai és oszlopai felcserélődnek, vagyis a sorok oszloppá, az oszlopok pedig sorokká válnak. Ha $A$ az eredeti mátrix, akkor a transzponált mátrixot $A^T$ jelöli. Ha az eredeti $A$ mátrix mérete $m \times n$, akkor a transzponált $A^T$ mátrix mérete $n \times m$ lesz.
$$ A = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \dots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \dots & a_{mn} \end{bmatrix} $$
A transzponált $A^T$ mátrix megszerzéséhez cserélni kell az eredeti $A$ mátrix sorait és oszlopait. Ennek érdekében a következőket kell tenni:
Vegye az $a_{11}$-től $a_{1n}$-ig terjedő első sor elemeit, és írja be őket a transzponált $A^T$ mátrix első oszlopába:
$$ A^T = \begin{bmatrix} a_{11} \\ a_{12} \\ \vdots \\ a_{1n} \end{bmatrix} $$
Vegye a $a_{21}$-től $a_{2n}$-ig terjedő második sor elemeit, és írja be őket az $A^T$ második oszlopába:
$$ A^T = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{21} \\ a_{12} & a_{22} \\ \vdots & \vdots \\ a_{1n} & a_{2n} \end{bmatrix} $$
Ismételje ezt a lépést az $A$ mátrix összes sorával, amíg azokat az $A^T$ oszlopaiként le nem írja:
$$ A^T = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{21} & \dots & a_{m1} \\ a_{12} & a_{22} & \dots & a_{m2} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{1n} & a_{2n} & \dots & a_{mn} \end{bmatrix} $$
Így a transzponált $A^T$ mátrix $a^T_{ij}$ elemei megfelelnek az eredeti $A$ mátrix $a_{ji}$ elemeinek.
Példa mátrix transzponálására:
$$ A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \\ 5 & 6 \end{bmatrix} \ \ A^T = \begin{bmatrix} 1 & 3 & 5 \\ 2 & 4 & 6 \end{bmatrix} $$