Kalkulator Persamaan
Dengan kalkulator ini, Anda dapat menyelesaikan persamaan linier, kuadrat atau kubik secara online. Contoh perhitungan dapat ditemukan di bagian yang sesuai.
Menyelesaikan Persamaan
Persamaan merupakan persamaan dengan variabel (atau yang tidak diketahui). Persamaan dengan satu variabel $x$ dalam bentuk umum biasanya ditulis sebagai berikut: $f(x) = g(x)$.
Penyelesaian (atau akar) dari persamaan adalah nilai variabel yang menyebabkan persamaan menjadi persamaan numerik yang benar. Menyelesaikan persamaan berarti menemukan semua solusinya atau membuktikan bahwa tidak ada solusi.
Cara menyelesaikan persamaan di kalkulator: pertama, masukkan bagian persamaan sebelum tanda =, tekan tombol x=y, masukkan bagian persamaan yang tersisa, tekan tombol = untuk melakukan perhitungan. Misalnya, untuk persamaan $2x - 4 = 0$ akarnya adalah $x = 2$. Inilah cara mendapatkan hasil ini menggunakan kalkulator persamaan:
$$2x - 4 = 0 \\ \Downarrow \\ x = 2$$
2 x - 4 x=y 0 =
Persamaan Linier
Persamaan linier dengan satu variabel tak diketahui adalah persamaan dalam bentuk berikut:
$$ax + b = 0,$$
di mana
- $x$ - variabel tak diketahui,
- $a$ - koefisien variabel tak diketahui,
- $b$ - suku konstan persamaan.
Persamaan linier merupakan bentuk persamaan aljabar yang paling sederhana, yang penyelesaiannya hanya melibatkan operasi aritmatika dasar.
Contoh penyelesaian:
$$4x - 16 = 0 \\ \Downarrow \\ x = 4$$
4 x - 1 6 x=y 0 =
$$3x + 2 = 6 - x \\ \Downarrow \\ x = 1$$
3 x + 2 x=y 6 - x =
Persamaan Kuadrat
Persamaan kuadrat adalah persamaan dalam bentuk berikut:
$$ax^2 + bx + c = 0 \ \ \ (a \ne 0)$$
Menyelesaikan persamaan kuadrat di kalkulator:
$$4x^2 - 6x + 2 = 0 \\ \Downarrow \\ x_1 = 1, \ x_2 = 0.5$$
4 x x2 - 6 x
+ 2 x=y 0 =
$$x^2 - 3x - 4 = 0 \\ \Downarrow \\ x_1 = 4, \ x_2 = -1$$
x x2 - 3 x - 4 x=y 0 =
$$x^2 - 4x + 4 = 0 \\ \Downarrow \\ x_1 = x_2 = x = 2$$
x x2 - 4 x + 4 x=y 0 =
Hubungan Koefisien
Ada persamaan kuadrat di mana koefsiennya memiliki hubungan tertentu yang memungkinkan persamaan tersebut diselesaikan dengan cara yang jauh lebih sederhana.
$$a + b + c = 0 \\ \Downarrow \\ x_1 = 1, \ x_2 = \frac {c} {a}$$
$$a + c = b \\ \Downarrow \\ x_1 = -1, \ x_2 = - \frac {c} {a}$$
Akar persamaan seperti itu juga dapat ditemukan menggunakan kalkulator biasa.
Diskriminan
Diskriminan digunakan untuk menemukan akar persamaan kuadrat. Rumus untuk menghitung diskriminan:
$$D = b^2 - 4ac$$
Rumus untuk menghitung akar menggunakan diskriminan:
$$x_{1,2} = \frac {-b \pm \sqrt D} {2a}$$
Jika $D > 0$, maka persamaan memiliki dua akar berbeda. Misalnya:
$$4x^2 - 6x + 2 = 0 \\ \Downarrow \\ a = 4, \ b = -6, \ c = 2 \\ \Downarrow \\ D = (-6)^2 - 4 × 4 × 2 = 4 \\ \Downarrow \\ x_{1,2} = \frac {-(-6) \pm \sqrt 4} {2 × 4} \\ \Downarrow \\ x_1 = \frac {6 + 2} {8} = 1, \ x_2 = \frac {6 - 2} {8} = 0.5$$
Jika $D = 0$, maka persamaan memiliki satu akar (atau dua akar yang sama). Misalnya:
$$x^2 - 4x + 4 = 0 \\ \Downarrow \\ a = 1, \ b = -4, \ c = 4 \\ \Downarrow \\ D = (-4)^2 - 4 × 1 × 4 = 0 \\ \Downarrow \\ x_{1,2} = \frac {-(-4) \pm \sqrt 0} {2 × 1} \\ \Downarrow \\ x_1 = x_2 = x = \frac {4 \pm 0} {2} = 2$$
Jika $D < 0$, maka persamaan tidak memiliki akar pada himpunan bilangan real:
$$x^2 + 4x + 5 = 0 \\ \Downarrow \\ a = 1, \ b = 4, \ c = 5 \\ \Downarrow \\ D = 6^2 - 4 × 1 × 5 = -4 \\ \Downarrow \\ x_{1,2} = \frac {-4 \pm \sqrt {-4}} {2 × 1} \\ \Downarrow \\ x_1 = \frac {-4 + 2i} {2} = -2 + i, \\ x_2 = \frac {-4 - 2i} {2} = -2 - i$$
Teorema Vieta
Teorema Vieta memberikan hubungan aljabar sederhana (rumus Vieta) antara akar persamaan kuadrat $x_1, x_2$ dan koefsiennya $a, b, c$. Dengan menggunakan rumus ini, akar dapat ditemukan jika koefisiennya diketahui, atau koefisien dapat dihitung jika akarnya diketahui.
Rumus Vieta:
$$\begin {cases} x_1 + x_2 = - \dfrac {b} {a} \\ x_1 x_2 = \dfrac {c} {a} \end {cases}$$
Persamaan Bikuadrat
Persamaan bikuadrat adalah persamaan dalam bentuk berikut:
$$ax^4 + bx^2 + c = 0 \ \ \ (a \ne 0)$$
Jika $x^2$ digantikan dengan $y \ (y \ge 0)$, maka akan diperoleh persamaan kuadrat yang akarnya $y_1, y_2$ dapat ditemukan. Akar persamaan bikuadrat diperoleh sebagai berikut:
$$x_{1,2} = \pm \sqrt {y_1}, \ \ \ x_{3,4} = \pm \sqrt {y_2}$$
Persamaan Kubik
Persamaan kubik adalah persamaan dalam bentuk berikut:
$$ax^3 + bx^2 + cx + d = 0 \ \ \ (a \ne 0)$$
Contoh penyelesaian:
$$x^3 - 6x^2 - 31x + 120 = 0 \\ \Downarrow \\ x_1 = -5, x_2 = 3, x_3 = 8$$
x x3 - 6 x x2 - 3 1 x
+ 1 2 0 x=y 0 =
Jika persamaan kubik dibagi dengan $a$ dan $x$ digantikan dengan $y - \frac {b} {3a}$, maka akan diperoleh bentuk yang lebih sederhana:
$$y^3 + py + q = 0,$$
di mana
$y = x + \frac {b} {3a}$,
$p = \frac {c} {a} - \frac {b^2} {3a^2} = \frac {3ac - b^2} {3a^2}$,
$q = \frac {2b^3} {27a^3} - \frac {bc} {3a^2} + \frac {d} {a} = \frac {2b^3 - 9abc + 27a^2d} {27a^3}$.
Rumus Cardano
Jika persamaan kubik dalam bentuk:
$$y^3 + py + q = 0,$$
maka untuk menemukan akarnya, dapat digunakan rumus Cardano:
$$x = \sqrt[3] {- \frac {q} {2} + \sqrt {\frac {q^2} {4} + \frac {p^3} {27}}} + \\ + \ \sqrt[3] {- \frac {q} {2} - \sqrt {\frac {q^2} {4} + \frac {p^3} {27}}}$$