Kalkulator Matriks
Dengan kalkulator ini, Anda dapat melakukan penjumlahan, pengurangan atau perkalian matriks, serta menghitung determinan matriks. Untuk melakukan perhitungan yang diperlukan, Anda perlu menekan tombol yang ditunjukkan di bawah contoh di bagian yang sesuai.
Transposisi matriks dapat dilakukan dengan mudah bahkan tanpa kalkulator, cukup ikuti instruksi terperinci.
Apa itu matriks dalam matematika
Matriks adalah tabel persegi panjang yang berisi elemen apa pun (angka, simbol, atau ekspresi), terdiri dari $m$ baris dan $n$ kolom. Setiap elemen matriks terletak pada perpotongan baris dan kolom tertentu.
Matriks biasanya dilambangkan dengan huruf besar, misalnya $A$. Elemen individu matriks dilambangkan dengan indeks, misalnya $a_{12}$ adalah elemen yang terletak pada baris pertama dan kolom kedua.
$$ A = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \dots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \dots & a_{mn} \end{bmatrix} $$
Ukuran matriks dilambangkan sebagai $m \times n$. Misalnya, matriks berukuran $3 \times 4$ akan memiliki 3 baris dan 4 kolom. Jumlah elemen dalam matriks dapat ditemukan dengan mengalikan $m$ dengan $n$ pada kalkulator biasa: $3 \cdot 4 = 12$.
Penjumlahan dan Pengurangan Matriks
Penjumlahan dan pengurangan matriks adalah operasi di mana elemen yang sesuai dari matriks dijumlahkan atau dikurangi. Untuk itu, diperlukan agar matriks memiliki ukuran yang sama, yaitu memiliki jumlah baris dan kolom yang sama.
Contoh penjumlahan matriks:
$$ \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \end{bmatrix} \ + \ \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 3 & 2 & 1 \end{bmatrix} \ = \ $$
$$ \ = \ \begin{bmatrix} 1+1 & 2+2 & 3+3 \\ 4+3 & 5+2 & 6+1 \end{bmatrix} \ = \ $$
$$ \ = \ \begin{bmatrix} 2 & 4 & 6 \\ 7 & 7 & 7 \end{bmatrix} $$
2nd [ [ 1 , 2 , 3 ]
[ 4 , 5 , 6 ] ]
+ [ [ 1 , 2 , 3 ]
[ 3 , 2 , 1 ] ] =
Contoh pengurangan matriks:
$$ \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \end{bmatrix} \ - \ \begin{bmatrix} 3 & 2 & 1 \\ 1 & 2 & 3 \end{bmatrix} \ = \ $$
$$\ = \ \begin{bmatrix} 1-3 & 2-2 & 3-1 \\ 4-1 & 5-2 & 6-3 \end{bmatrix} \ = \ $$
$$\ = \ \begin{bmatrix} -2 & 0 & 2 \\ 3 & 3 & 3 \end{bmatrix} $$
2nd [ [ 1 , 2 , 3 ]
[ 4 , 5 , 6 ] ]
- [ [ 3 , 2 , 1 ]
[ 1 , 2 , 3 ] ] =
Perkalian Matriks
Perkalian dua matriks adalah operasi untuk menghitung matriks baru yang disebut hasil kali matriks. Setiap elemen matriks ini sama dengan jumlah perkalian elemen di baris yang sesuai dari matriks pertama dan kolom matriks kedua. Untuk perkalian matriks, jumlah kolom pada matriks pertama harus sama dengan jumlah baris pada matriks kedua.
Contoh perkalian matriks:
$$ \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \end{bmatrix} \ \cdot \ \begin{bmatrix} 7 & 8 \\ 9 & 10 \\ 11 & 12 \end{bmatrix} \ = \ $$
$$ \ = \ \begin{bmatrix} 1 \cdot 7 + 2 \cdot 9 + 3 \cdot 11 & 1 \cdot 8 + 2 \cdot 10 + 3 \cdot 12 \\ 4 \cdot 7 + 5 \cdot 9 + 6 \cdot 11 & 4 \cdot 8 + 5 \cdot 10 + 6 \cdot 12 \end{bmatrix} \ = \ $$
$$\ = \ \begin{bmatrix} 58 & 64 \\ 139 & 154 \end{bmatrix} $$
2nd [ [ 1 , 2 , 3 ]
[ 4 , 5 , 6 ] ]
2nd × 2nd [ [ 7 , 8 ]
[ 9 , 1 0 ]
[ 1 1 , 1 2 ] ] =
Determinan Matriks
Determinan matriks ($det(A)$ atau $|A|$) adalah nilai yang mengkarakterisasi sifat-sifat matriks persegi.
Contoh menghitung determinan (det harus dimasukkan ke bidang kosong di bawah layar kalkulator, menggunakan keyboard komputer Anda):
$$ |A| = \begin{vmatrix} 1 & -2 & 3 \\ 4 & 0 & 6 \\ -7 & 8 & 9 \end{vmatrix} = 204 $$
d e t ( 2nd [
[ 1 , - 2 , 3 ]
[ 4 , 0 , 6 ]
[ - 7 , 8 , 9 ]
] 2nd ) =
Transpose Matriks
Transpose adalah operasi di mana baris dan kolom matriks asal dipertukarkan, yaitu baris menjadi kolom dan kolom menjadi baris. Jika $A$ adalah matriks asal, maka matriks transpose dilambangkan sebagai $A^T$. Jika matriks asal $A$ berukuran $m \times n$, maka matriks transpose $A^T$ akan berukuran $n \times m$.
$$ A = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \dots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \dots & a_{mn} \end{bmatrix} $$
Untuk mendapatkan matriks transpose $A^T$, Anda perlu menukar baris dan kolom matriks asal $A$. Untuk melakukannya, ikuti langkah-langkah berikut.
Ambil elemen baris pertama dari $a_{11}$ hingga $a_{1n}$ dan tuliskan sebagai kolom pertama matriks transpose $A^T$:
$$ A^T = \begin{bmatrix} a_{11} \\ a_{12} \\ \vdots \\ a_{1n} \end{bmatrix} $$
Ambil elemen baris kedua dari $a_{21}$ hingga $a_{2n}$ dan tuliskan sebagai kolom kedua $A^T$:
$$ A^T = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{21} \\ a_{12} & a_{22} \\ \vdots & \vdots \\ a_{1n} & a_{2n} \end{bmatrix} $$
Ulangi langkah ini untuk semua baris matriks $A$, hingga semuanya ditulis sebagai kolom $A^T$:
$$ A^T = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{21} & \dots & a_{m1} \\ a_{12} & a_{22} & \dots & a_{m2} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{1n} & a_{2n} & \dots & a_{mn} \end{bmatrix} $$
Dengan demikian, elemen $a^T_{ij}$ matriks transpose $A^T$ sesuai dengan elemen $a_{ji}$ matriks asal $A$.
Contoh transpose matriks:
$$ A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \\ 5 & 6 \end{bmatrix} \ \ A^T = \begin{bmatrix} 1 & 3 & 5 \\ 2 & 4 & 6 \end{bmatrix} $$