Calcolatore di equazioni
Con questo calcolatore potrai risolvere online un’equazione lineare, quadratica o cubica. Puoi trovare esempi di calcoli nella rispettiva sezione.
Soluzione di equazioni
Un’equazione è un’uguaglianza con una variabile (o incognita). Un’equazione con una sola variabile $x$ è generalmente scritta nella forma: $f(x) = g(x)$.
Una soluzione (o radice) dell’equazione è quel valore della variabile che trasforma l’equazione in un’uguaglianza numerica vera. Risolvere un’equazione significa trovare tutte le sue soluzioni o dimostrare che non ne esistono.
Come risolvere un’equazione sul calcolatore: innanzitutto inserisci la parte dell’equazione prima del segno =, premi il pulsante x=y, inserisci la parte rimanente dell’equazione, premi il pulsante = per eseguire i calcoli. Ad esempio, per l’equazione $2x - 4 = 0$ la radice è $x = 2$. Ecco come è stato ottenuto questo risultato utilizzando il calcolatore di equazioni:
$$2x - 4 = 0 \\ \Downarrow \\ x = 2$$
2 x - 4 x=y 0 =
Equazioni lineari
Un’equazione lineare con un’incognita è un’equazione della seguente forma:
$$ax + b = 0,$$
dove
- $x$ è l’incognita,
- $a$ è il coefficiente dell’incognita,
- $b$ è il termine noto dell’equazione.
Le equazioni lineari sono il tipo più semplice di equazioni algebriche, la cui soluzione si riduce all’esecuzione di semplici operazioni aritmetiche.
Esempi di soluzione:
$$4x - 16 = 0 \\ \Downarrow \\ x = 4$$
4 x - 1 6 x=y 0 =
$$3x + 2 = 6 - x \\ \Downarrow \\ x = 1$$
3 x + 2 x=y 6 - x =
Equazioni quadratiche
Un’equazione quadratica è un’equazione della seguente forma:
$$ax^2 + bx + c = 0 \ \ \ (a \ne 0)$$
Risoluzione di equazioni quadratiche sul calcolatore:
$$4x^2 - 6x + 2 = 0 \\ \Downarrow \\ x_1 = 1, \ x_2 = 0.5$$
4 x x2 - 6 x
+ 2 x=y 0 =
$$x^2 - 3x - 4 = 0 \\ \Downarrow \\ x_1 = 4, \ x_2 = -1$$
x x2 - 3 x - 4 x=y 0 =
$$x^2 - 4x + 4 = 0 \\ \Downarrow \\ x_1 = x_2 = x = 2$$
x x2 - 4 x + 4 x=y 0 =
Rapporti tra i coefficienti
Esistono equazioni quadratiche i cui coefficienti si trovano in rapporti che permettono di risolverle in modo molto più semplice.
$$a + b + c = 0 \\ \Downarrow \\ x_1 = 1, \ x_2 = \frac {c} {a}$$
$$a + c = b \\ \Downarrow \\ x_1 = -1, \ x_2 = - \frac {c} {a}$$
Le radici di queste equazioni possono essere trovate anche con un calcolatore standard.
Discriminante
Il discriminante viene utilizzato per trovare le radici di un’equazione quadratica. La formula per calcolare il discriminante è:
$$D = b^2 - 4ac$$
La formula per calcolare le radici utilizzando il discriminante è:
$$x_{1,2} = \frac {-b \pm \sqrt D} {2a}$$
Se $D > 0$, l’equazione ha due radici distinte. Ad esempio:
$$4x^2 - 6x + 2 = 0 \\ \Downarrow \\ a = 4, \ b = -6, \ c = 2 \\ \Downarrow \\ D = (-6)^2 - 4 × 4 × 2 = 4 \\ \Downarrow \\ x_{1,2} = \frac {-(-6) \pm \sqrt 4} {2 × 4} \\ \Downarrow \\ x_1 = \frac {6 + 2} {8} = 1, \ x_2 = \frac {6 - 2} {8} = 0.5$$
Se $D = 0$, l’equazione ha una radice (o due radici uguali). Ad esempio:
$$x^2 - 4x + 4 = 0 \\ \Downarrow \\ a = 1, \ b = -4, \ c = 4 \\ \Downarrow \\ D = (-4)^2 - 4 × 1 × 4 = 0 \\ \Downarrow \\ x_{1,2} = \frac {-(-4) \pm \sqrt 0} {2 × 1} \\ \Downarrow \\ x_1 = x_2 = x = \frac {4 \pm 0} {2} = 2$$
Se $D < 0$, l’equazione non ha radici nell’insieme dei numeri reali:
$$x^2 + 4x + 5 = 0 \\ \Downarrow \\ a = 1, \ b = 4, \ c = 5 \\ \Downarrow \\ D = 6^2 - 4 × 1 × 5 = -4 \\ \Downarrow \\ x_{1,2} = \frac {-4 \pm \sqrt {-4}} {2 × 1} \\ \Downarrow \\ x_1 = \frac {-4 + 2i} {2} = -2 + i, \\ x_2 = \frac {-4 - 2i} {2} = -2 - i$$
Teorema di Vieta
Il teorema di Vieta stabilisce semplici relazioni algebriche (formule di Vieta) tra le radici $x_1, x_2$ di un’equazione quadratica e i suoi coefficienti $a, b, c$. Utilizzando queste formule, è possibile trovare le radici se sono noti i coefficienti, o calcolare i coefficienti se sono note le radici.
Formule di Vieta:
$$\begin {cases} x_1 + x_2 = - \dfrac {b} {a} \\ x_1 x_2 = \dfrac {c} {a} \end {cases}$$
Equazioni biquadratiche
Un’equazione biquadratica è un’equazione della seguente forma:
$$ax^4 + bx^2 + c = 0 \ \ \ (a \ne 0)$$
Se si effettua la sostituzione $x^2$ con $y \ (y \ge 0)$, si ottiene un’equazione quadratica per la quale è possibile trovare le radici $y_1, y_2$. Le radici dell’equazione biquadratica si trovano così:
$$x_{1,2} = \pm \sqrt {y_1}, \ \ \ x_{3,4} = \pm \sqrt {y_2}$$
Equazioni cubiche
Un’equazione cubica è un’equazione della seguente forma:
$$ax^3 + bx^2 + cx + d = 0 \ \ \ (a \ne 0)$$
Esempio di soluzione:
$$x^3 - 6x^2 - 31x + 120 = 0 \\ \Downarrow \\ x_1 = -5, x_2 = 3, x_3 = 8$$
x x3 - 6 x x2 - 3 1 x
+ 1 2 0 x=y 0 =
Se si divide l’equazione cubica per $a$ e si sostituisce $x$ con $y - \frac {b} {3a}$, essa assume la seguente forma più semplice:
$$y^3 + py + q = 0,$$
dove
$y = x + \frac {b} {3a}$,
$p = \frac {c} {a} - \frac {b^2} {3a^2} = \frac {3ac - b^2} {3a^2}$,
$q = \frac {2b^3} {27a^3} - \frac {bc} {3a^2} + \frac {d} {a} = \frac {2b^3 - 9abc + 27a^2d} {27a^3}$.
Formula di Cardano
Se un’equazione cubica ha la seguente forma:
$$y^3 + py + q = 0,$$
allora per trovare le radici di questa equazione si può applicare la formula di Cardano:
$$x = \sqrt[3] {- \frac {q} {2} + \sqrt {\frac {q^2} {4} + \frac {p^3} {27}}} + \\ + \ \sqrt[3] {- \frac {q} {2} - \sqrt {\frac {q^2} {4} + \frac {p^3} {27}}}$$