Calcolatore di integrali
Con questo calcolatore potrete calcolare un integrale indefinito o definito. Esempi di calcolo si possono trovare nella sezione corrispondente.
Alcuni integrali fondamentali non è necessario calcolarli, ma si può trovare direttamente la primitiva nella tavola.
Primitiva
La primitiva per una funzione $f(x)$ è una funzione $F(x)$ la cui derivata è uguale a $f(x)$, cioè $F^{\prime}(x) = f(x)$. La ricerca della primitiva è l’operazione inversa della differenziazione.
Se $F(x)$ è una primitiva per $f(x)$, allora la funzione $F(x) + C$, dove $C$ è una costante arbitraria, è anch’essa una primitiva per $f(x)$.
Integrale indefinito
L’integrale indefinito per una funzione $f(x)$ è l’insieme di tutte le primitive di questa funzione. Ciò è indicato come:
$$\int f(x) dx = F(x) + C,$$
dove
- $\int$ - segno dell’integrale
- $f(x)$ - funzione integranda
- $dx$ - elemento di integrazione
- $F(x)$ - primitiva
- $C$ - costante di integrazione
L’operazione di ricerca dell’integrale si chiama integrazione.
Proprietà
Le proprietà fondamentali dell’integrale indefinito sono:
$$\int a \cdot f(x) dx = \\ = a \cdot \int f(x) dx \ \ \ (a \ne 0)$$
$$\int (f(x) \pm g(x)) dx = \\ = \int f(x) dx \pm \int g(x) dx$$
Esempi di calcolo
Di seguito sono riportati esempi di calcolo di integrali indefiniti. Per eseguire questi calcoli sul calcolatore di integrali, è necessario premere in sequenza i pulsanti indicati sotto ogni esempio. Nota: inserisci int nel campo vuoto sotto lo schermo del calcolatore utilizzando la tastiera del tuo computer.
$$\int x^3 dx = \frac {x^4} {4} + C$$
i n t ( x xy 3 ) =
$$\int \sin 7x dx = - \frac {\cos 7x} {7} + C$$
i n t ( sin 7 x ) =
$$\int x^3 y dy = \frac {x^3 y^2} {2} + C$$
i n t ( x x^3 y , y ) =
Tavola degli integrali
Tavola degli integrali indefiniti fondamentali e delle rispettive primitive:
| $\int f(x) dx$ | $F(x) + C$ |
|---|---|
| $$\int 0 \cdot dx$$ | $$C$$ |
| $$\int dx$$ | $$x + C$$ |
| $$\int x^n dx$$ | $$\frac {x^{n + 1}} {n + 1} + C \ \ \ (n \ne -1)$$ |
| $$\int \frac {1} {x} dx$$ | $$\ln | x | + C$$ |
| $$\int e^x dx$$ | $$e^x + C$$ |
| $$\int a^x dx$$ | $$\frac {a^x} {\ln a} + C \ \ \ (a > 0, a \ne 1)$$ |
| $$\int \cos x dx$$ | $$\sin x + C$$ |
| $$\int \sin x dx$$ | $$- \cos x + C$$ |
| $$\int \frac {dx} {\cos^2 x}$$ | $$\tg x + C$$ |
| $$\int \frac {dx} {\sin^2 x}$$ | $$- \ctg x + C$$ |
| $$\int \frac {dx} {\sqrt {1 - x^2}}$$ | $$\begin{gathered} \arcsin x + C_1 = \\ = - \arccos x + C_2 \\ (C_2 = \frac {\pi} {2} + C_1) \end{gathered}$$ |
| $$\int \frac {dx} {1 + x^2}$$ | $$\arctg x + C$$ |
| $$\int \ch x dx$$ | $$\sh x + C$$ |
| $$\int \sh x dx$$ | $$\ch x + C$$ |
Integrale definito
Se $F(x)$ è una primitiva per la funzione $f(x)$, che è definita e continua nell’intervallo $[a;b]$, allora l’integrale definito si calcola con la formula:
$$\int _a^b f(x) dx = F(x) \mid _a^b = F(b) - F(a)$$
Proprietà
Le proprietà fondamentali dell’integrale definito sono:
$$\int _a^a f(x) dx = 0$$
$$\int _a^b f(x) dx = - \int _b^a f(x) dx$$
$$\int _a^b f(x) dx = \int _a^c f(x) dx + \\ + \int _c^b f(x) dx \ \ \ (c \in [a;b])$$
Esempi di calcolo
Di seguito sono riportati esempi di calcolo di integrali definiti. Per eseguire questi calcoli sul calcolatore, è necessario premere in sequenza i pulsanti indicati sotto ogni esempio. Nota: inserisci int nel campo vuoto sotto lo schermo del calcolatore utilizzando la tastiera del tuo computer.
$$\int _1^3 (5 + x) dx = 14$$
i n t ( 5 + x ,
x 2nd var 1 . . 3 2nd ) =
$$\int _5^8 x^2 dx = 129$$
i n t ( x x2 ,
x 2nd var 5 . . 8 2nd ) =