Calcolatore di matrici
Con questo calcolatore, potrai eseguire l’addizione, la sottrazione o la moltiplicazione di matrici, nonché calcolare il determinante di una matrice. Per eseguire i calcoli necessari, è sufficiente premere in sequenza i pulsanti indicati sotto l’esempio nella rispettiva sezione.
La trasposizione di una matrice può essere facilmente eseguita anche senza un calcolatore, semplicemente seguendo le istruzioni dettagliate.
Cosa è una matrice in matematica
Una matrice è una tabella rettangolare di elementi (numeri, simboli o espressioni), composta da $m$ righe e $n$ colonne. Ogni elemento della matrice è posizionato all’intersezione di una determinata riga e colonna.
Una matrice è solitamente indicata con una lettera maiuscola, ad esempio $A$. Gli elementi individuali della matrice sono indicati con indici, ad esempio $a_{12}$ è l’elemento situato nella prima riga e seconda colonna.
$$ A = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \dots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \dots & a_{mn} \end{bmatrix} $$
Le dimensioni di una matrice sono indicate come $m \times n$. Ad esempio, una matrice di dimensioni $3 \times 4$ avrà 3 righe e 4 colonne. Il numero di elementi in una matrice può essere calcolato moltiplicando $m$ per $n$ su una calcolatrice ordinaria: $3 \cdot 4 = 12$.
Addizione e sottrazione di matrici
L’addizione e la sottrazione di matrici sono operazioni in cui gli elementi corrispondenti delle matrici vengono sommati o sottratti. Per eseguire queste operazioni è necessario che le matrici abbiano le stesse dimensioni, ovvero lo stesso numero di righe e colonne.
Esempio di addizione di matrici:
$$ \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \end{bmatrix} \ + \ \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 3 & 2 & 1 \end{bmatrix} \ = \ $$
$$ \ = \ \begin{bmatrix} 1+1 & 2+2 & 3+3 \\ 4+3 & 5+2 & 6+1 \end{bmatrix} \ = \ $$
$$ \ = \ \begin{bmatrix} 2 & 4 & 6 \\ 7 & 7 & 7 \end{bmatrix} $$
2nd [ [ 1 , 2 , 3 ]
[ 4 , 5 , 6 ] ]
+ [ [ 1 , 2 , 3 ]
[ 3 , 2 , 1 ] ] =
Esempio di sottrazione di matrici:
$$ \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \end{bmatrix} \ - \ \begin{bmatrix} 3 & 2 & 1 \\ 1 & 2 & 3 \end{bmatrix} \ = \ $$
$$\ = \ \begin{bmatrix} 1-3 & 2-2 & 3-1 \\ 4-1 & 5-2 & 6-3 \end{bmatrix} \ = \ $$
$$\ = \ \begin{bmatrix} -2 & 0 & 2 \\ 3 & 3 & 3 \end{bmatrix} $$
2nd [ [ 1 , 2 , 3 ]
[ 4 , 5 , 6 ] ]
- [ [ 3 , 2 , 1 ]
[ 1 , 2 , 3 ] ] =
Moltiplicazione di matrici
La moltiplicazione di due matrici è un’operazione che consiste nel calcolare una nuova matrice, chiamata prodotto delle matrici. Ogni elemento di questa matrice è uguale alla somma dei prodotti degli elementi nella corrispondente riga della prima matrice e colonna della seconda matrice. Per moltiplicare le matrici, è necessario che il numero di colonne della prima matrice sia uguale al numero di righe della seconda matrice.
Esempio di moltiplicazione di matrici:
$$ \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \end{bmatrix} \ \cdot \ \begin{bmatrix} 7 & 8 \\ 9 & 10 \\ 11 & 12 \end{bmatrix} \ = \ $$
$$ \ = \ \begin{bmatrix} 1 \cdot 7 + 2 \cdot 9 + 3 \cdot 11 & 1 \cdot 8 + 2 \cdot 10 + 3 \cdot 12 \\ 4 \cdot 7 + 5 \cdot 9 + 6 \cdot 11 & 4 \cdot 8 + 5 \cdot 10 + 6 \cdot 12 \end{bmatrix} \ = \ $$
$$\ = \ \begin{bmatrix} 58 & 64 \\ 139 & 154 \end{bmatrix} $$
2nd [ [ 1 , 2 , 3 ]
[ 4 , 5 , 6 ] ]
2nd × 2nd [ [ 7 , 8 ]
[ 9 , 1 0 ]
[ 1 1 , 1 2 ] ] =
Determinante di una matrice
Il determinante di una matrice ($det(A)$ o $|A|$) è una quantità che caratterizza le proprietà di una matrice quadrata.
Esempio di calcolo del determinante (det deve essere inserito nel campo vuoto sotto lo schermo del calcolatore, utilizzando la tastiera del computer):
$$ |A| = \begin{vmatrix} 1 & -2 & 3 \\ 4 & 0 & 6 \\ -7 & 8 & 9 \end{vmatrix} = 204 $$
d e t ( 2nd [
[ 1 , - 2 , 3 ]
[ 4 , 0 , 6 ]
[ - 7 , 8 , 9 ]
] 2nd ) =
Trasposizione di una matrice
La trasposizione è un’operazione in cui le righe e le colonne della matrice originale vengono scambiate, ovvero le righe diventano colonne e le colonne diventano righe. Se $A$ è la matrice originale, la matrice trasposta è indicata come $A^T$. Se la matrice originale $A$ ha dimensioni $m \times n$, la matrice trasposta $A^T$ avrà dimensioni $n \times m$.
$$ A = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \dots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \dots & a_{mn} \end{bmatrix} $$
Per ottenere la matrice trasposta $A^T$, è necessario scambiare le righe e le colonne della matrice originale $A$. Per fare ciò, seguire questi passaggi.
Prendere gli elementi della prima riga da $a_{11}$ a $a_{1n}$ e trascriverli come prima colonna della matrice trasposta $A^T$:
$$ A^T = \begin{bmatrix} a_{11} \\ a_{12} \\ \vdots \\ a_{1n} \end{bmatrix} $$
Prendere gli elementi della seconda riga da $a_{21}$ a $a_{2n}$ e trascriverli come seconda colonna di $A^T$:
$$ A^T = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{21} \\ a_{12} & a_{22} \\ \vdots & \vdots \\ a_{1n} & a_{2n} \end{bmatrix} $$
Ripetere questo passo per tutte le righe della matrice $A$, fino a trascriverle come colonne di $A^T$:
$$ A^T = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{21} & \dots & a_{m1} \\ a_{12} & a_{22} & \dots & a_{m2} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{1n} & a_{2n} & \dots & a_{mn} \end{bmatrix} $$
In questo modo, gli elementi $a^T_{ij}$ della matrice trasposta $A^T$ corrisponderanno agli elementi $a_{ji}$ della matrice originale $A$.
Esempio di trasposizione di una matrice:
$$ A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \\ 5 & 6 \end{bmatrix} \ \ A^T = \begin{bmatrix} 1 & 3 & 5 \\ 2 & 4 & 6 \end{bmatrix} $$